thumb|En rettvinklet trekant med de to katetene og og hypotenusen . Pytagoras’ læresetning eller den pytagoreiske læresetning er i euklidsk geometri et fundamentalt teorem om sammenhengen mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant:
«I en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen.»
De to katetene er de korteste sidene i trekanten, og hypotenusen er den lengste. Den rette vinkelen er motstående til hypotenusen. Kaller man lengdene av katetene henholdsvis og samt lengden av hypotenusen for , så kan læresetningen uttrykkes som en ligning, ofte kalt Pytagoras ligning:
.
Heltall som oppfyller Pytagoras’ læresetning kalles pytagoreiske tripler. Et velkjent trippel er (3,4,5). Dersom sidelengdene i en trekant danner et pytagoreiske trippel, så er trekanten rettvinklet.
Det eksisterer mange generaliseringer av Pytagoras’ teorem. En generalisering til en vilkårlig trekant kalles den utvidede pytagoreiske læresetning eller cosinussetningen.
Det historiske opphavet til teoremet er bare mangelfullt kjent og har vært gjenstand for mye diskusjon. Navnet har teoremet fått fordi mange tradisjonelt har knyttet læresetningen til den greske matematikeren Pytagoras, som levde omkring 500 f.Kr. Det eksisterer imidlertid ikke gode indikasjoner eller bevis for at han eller noen av hans følgesvenner skal ha vært opphavsmann til teoremet. Pytagoreiske tripler og andre former for teoremet har vært kjent i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før pytagoreerne. Kanskje har læresetningen blitt oppdaget flere steder og til flere tider uavhengig av hverandre. Det eldste deduktive bevis vi kjenner, er fra Euklids Elementer, skrevet omkring 300 f.Kr. I dag eksisterer det en lang rekke alternative bevis for teoremet.
Bevis thumb|Geometri for Euklids bevis. thumb|Illustrasjon til Euklids bevis fra 1756. Lignende figurer er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale». Pytagoras’ læresetning antas å være et av de teoremene i matematikk som er bevist på flest alternative måter. Boken Pythagorean Proposition av Elisha Scott Loomis inneholder hele 370 bevis. E.S. Loomis: The Pythagorean proposition s.1 I boken er 109 bevis karakterisert som algebraiske og 255 som geometriske. De resterende seks er basert på vektorregning eller dynamiske argument. Et geometrisk bevis bygger ifølge Loomis på sammenligning av arealet til de tre kvadratene konstruert fra sidelengdene, mens et aritmetisk er basert på lineære relasjoner mellom sidelengder eller areal, for eksempel ved bruk av formlike trekanter. Denne inndelingen er kanskje ikke entydig, og mange bevis har innslag av både geometri og algebra.
Euklids bevis I Euklids Elementer, teorem 47 i bok I, finner man det eldste kjente beviset for Pytagoras’ teorem.C.B.Boyer: A history of mathematics s.119 Det er vanlig å referere til Euklids bøker med romertall for bindet og et vanlig tall for den gjeldende satsen, slik at Pytagoras’ teorem er I.47. Beviset for I.47 er basert på en sammenligning av areal.
La , og være hjørnene i en rettvinklet trekant, med den rette vinkel ved som vist på figuren. Til hver side i trekanten er det tegnet et kvadrat. En normal fra hjørnet til hypotenusen deler kvadratet på hypotenusen i to rektangler, på figure vist i blått og rosa. Euklid beviste setningen ved å vise at arealet til hver av de to minste kvadratene er lik arealet av ett av rektanglene, vist med fargene i figuren. Arealsummen av de to minste kvadratene er dermed lik arealet til det største kvadratet.
Beviset bygger på flere hjelpesetninger, som Euklid viser tidligere i bok I. Disse vil bli brukt videre, uten bevis her. Hvis to trekanter er slik at to sider i den ene er lik tilsvarende to sider i den andre, og den mellomliggende vinkel er lik i begge, så er trekantene kongruente. Arealet av en gitt trekant er lik halvparten av arealet i et vilkårlig parallellogram med samme grunnlinje og høyde. Arealet av et rektangel er lik produktet av to tilstøtende sider. Arealet av et kvadrat er lik produktet av to sider.
Beviset er som følger: La være en rettvinklet trekant, med den rette vinkelen gitt ved . På hver av sidene , og tegnes kvadrater, henholdsvis , og . Fra trekkes en linje parallell med og . Den krysser og i rett vinkel ved henholdsvis og . Forbind og . Derved dannes trekantene og . Vinklene og er begge rette. Punktene , og ligger derfor på samme linje. Tilsvarende ligger , og på en rett linje. Vinklene og er begge rette. Dermed er lik , siden begge er summen av en rett vinkel og den felles . Siden og er tilsvarende like med og , må trekanten være kongruent med trekanten . Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet være dobbelt så stort som trekanten . Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet være dobbelt så stort som trekanten . Dermed må rektangelet ha samme areal som kvadratet , det vil si at . Tilsvarende kan det vises at rektangelet må ha samme areal som kvadratet , det vil si at . Ved å addere disse to resultatene: . Siden , så er . Dermed er , siden er et kvadrat.
Beviset har tidligere vært pensum i norsk realskole. Det finnes enklere bevis, men gjennomgang av fremgangsmåten kan være en egnet øvelse i matematisk tenkning.
Figuren til Euklids bevis, med hjelpelinjer til alle fire kvadrater, er berømt. Den er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale». Også navnet pons asinorum er blitt brukt om figuren. E.S. Loomis: The Pythagorean proposition s.120 Dette latinske utrrykket betyr «eselbroen» eller «idiotbroen», og uttrykket knyttes vanligvis til en annen Euklid-figur, brukt i forbindelse med Elementer I.5.
Bevis ved bruk av formlike trekanter thumb|right|Bevis ved bruk av likedannede trekanter. Mange av bevisene for Pytagoras’ setning er basert på forhold mellom sidelengder i to formlike trekanter. Elisha Scott Loomis omtaler dette som det korteste av alle Pytagoras-bevisene og kaller det også for «Legendre-beviset». E.S. Loomis: The Pythagorean proposition s.24 En lærebok i geometri fra 1858, basert på arbeid av Adrien-Marie Legendre, gjengir beviset. Thomas Heath foreslår dette som ett alternativ for et bevis som kan ha vært brukt av pytagoreerne.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.144-149
La være en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen er ved , slik figuren viser. Høyden fra hjørnet treffer siden i fotpunktet . Trekanten er formlik med trekanten , da begge er rettvinklede og vinkelen ved er felles. Tilsvarende er trekanten formlik med . Til sammen resulterer dette i følgende forhold mellom sidelengder:
Dette kan skrives som
Summasjon av de to uttrykkene gir
Garfields bevis thumb|right|Geometri brukt i Garfields bevis. James Garfield er opphavsmann for det følgende beviset. Han var jurist og medlem av den amerikanske Kongressen, og han oppdaget beviset i 1876 som følge av en matematisk diskusjon med andre kongressmedlemmer. Garfield ble president i USA i 1881, men han ble skutt og drept etter bare fire måneder i embetet.
Arealet av et generelt trapes med høyde og lengder av de to parallelle sidene og er gitt ved
Da er arealet av trapeset vist i figuren:
Trekant 1 og 2 er identiske, med areal
.
Trekant 3 er rettvinklet, og arealet er lik halvparten av kvadratet på hypotenusen:
Et alternativt uttrykk for arealet til trapeset finner en ved å summere arealene til de tre trekantene:
En sammenstillingen av de to uttrykkene for trapesarealet gir
Bevis ved reorganisering thumb|Bevis av Pytagoras’ teorem ved reorganisering. Klikk på bildet for animasjon.|left
Det eksisterer flere bevis basert på å reorganisere areal. Et eksempel er vist i figuren til venstre. De to store kvadratene i figuren er like store, begge med sidelengde . De to kvadratene skiller seg kun ved den innvendige plasseringen av de fire trekantene. Arealet av de hvite områdene i de to store kvadratene må derfor være like, og dette gir Pytagoras’ setning.
Thomas Heath omtaler dette beviset og et forslag fra de to matematikerne Carl Anton Bretschneider og Hermann Hankel om at dette kan ha vært kjent av pytagoreerne. Heath vil ikke avvise en slik teori, men mener selv at det er mer sannsynlig at pytagoreerne kjente beviset basert på formlike trekanter.
Algebraisk bevis thumb|Algebraisk bevis med fire identiske trekanter i et større kvadrat.
Et algebraisk bevis kan gjennomføres ved å betrakte fire identiske trekanter plassert i hjørnene til et større kvadrat. Beviset er gjengitt av den indiske matematikeren Bhaskara, som levde på 1200-tallet.
Sidelengdene i trekantene er , og , og det store kvadratet har sidelengde .
Arealet av hver av de fire trekantene er gitt ved:
I hver trekant er motstående vinkel til -siden og -siden komplementvinkler. Også det blå området er derfor et kvadrat, med areal lik . Arealet til det store kvadratet med sidelengde er gitt ved
Alternativt kan dette uttrykkes som arealsummen for de fire trekantene og det blå kvadratet:
En sammenstilling av de to uttrykkene for gir Pytagoras’ teorem.
Det omvendte teoremet
Euklid viste i teorem I.48 at også det omvendte Pytagoras’ teorem er gyldig, der en bytter forutsetning og konklusjon:
«For tre vilkårlige, positive tall a, b og c der , finnes det en rettvinklet trekant med sider a, b og c. Den rette vinkelen er mellom sidene med lengde a og b.»
Teoremet kan bevises som følger:
La være en trekant med sidelengder , og . Anta også at . Konstruerer en ny rettvinklet trekant , med den rette vinkelen mellom sider med lengde og . Fra Pytagoras’ setning følger det at hypotenusen i trekant har lengde . Trekantene og har tre like sider og er derfor kongruente. Følgelig har de også like vinkler. I trekant må derfor vinkelen mellom sidelengdene and være en rett vinkel.
Pytagoreiske tripler
Et pytagoreisk trippel består av tre positive heltall , , og , slik at . En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er . Et pytagoreiske trippel representerer sidelengdene i en rettvinklet trekant, når alle tre lengdene har heltallsverdier. Eksempler på pytagoreiske tripler er (3,4,5) og (5,12,13).
Dersom er et pytagoreisk trippel, så vil også være det, for et vilkårlig heltall . Dersom de tre tallene , , og ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et primitivt trippel. Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.
Pytagoreiske tripler kan brukes til å konstruere rette vinkler og til å kontrollere om en gitt vinkel er rett. Et hendig trippel er (60,80,100), et ikke-primitivt trippel som kan dannes ved å multiplisere tallene i (3,4,5) med 20. En vinkel i et innvendig hjørne i et rom kan kontrolleres ved å avsette henholdsvis 60 cm langs den ene veggen, 80 cm langs den andre. Om nå en meter-lengde passer mellom merkene, så er vinkelen rett.
Konsekvenser og bruk av læresetningen
Inkommensurable lengder og irrasjonale tall En konsekvens av Pytagoras’ teorem er at det er mulig å konstruere inkommensurable lengder, det vil si lengder med et forhold lik et irrasjonalt tall. Et enkelt eksempel er gitt ved rettvinklet trekant der begge katetene har lengde 1. Pytagoras’ setning gir at hypotenusen i en slik trekant har lengde lik kvadratroten av 2. At dette tallet er et irrasjonalt tall, kan vises ved et enkelt algebraisk bevis, se Kvadratroten av 2.
For greske matematikere var en irrasjonell størrelse definert som et forhold mellom lengder og ikke som et tall. Det skulle gå lang tid før en forståelse av irrasjonale tall skulle bli etablert.