thumb|(n × m)-matrise med elementer En matrise i matematikk er et rektangulært sett av elementer, ordnet i rekker og kolonner. H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.1 Elementene er vanligvis reelle eller komplekse tall, men kan også være mer generelle objekter i en kropp eller en ring. Et eksempel på en matrise er vist i figuren til høyre.
En (n × m)-matrise har n rekker eller rader og m kolonner eller søyler, og dimensjonen til matrisen sies å være n × m. En matrise med like mange rader som kolonner kalles en kvadratisk matrise. Rangen til en matrise er det største antallet lineært uavhengige rader eller kolonner i matrisen.
Matriser har et stort anvendelsesområde i matematikk og også i andre fagfelt, som fysikk og kjemi. Viktige grunner for dette er nær sammenheng mellom matriser og lineære algebraiske ligninger samt matriser og lineære transformasjoner. Praktiske problemstillinger kan lede til svært store matriser, der millionvis av elementer ikke er uvanlig. På grunn av det store bruksområdet, er det lagt ned en stor innsats i å utvikle effektive beregningsmetoder for matriser.
I matematikk er grunnleggende teori for matriser en del av fagfeltet lineær algebra, men de studeres også i andre spesialområder, som i numerisk matematikk. Det er utviklet en rik terminologi for matrisetyper og matrise-egenskaper. Matriser som består av kun én kolonne eller én rekke svarer til vektorer, mens en tensor kan betraktes som en generalisering av en matrise fra to dimensjoner (rekker, kolonner) til tre eller flere dimensjoner.
Notasjon og terminologi for generelle matriser
Dimensjon En matrise betegnes vanligvis med en stor bokstav , ofte også med fet skrift . Dimensjonen eller ordenen til matrisen er (n × m), når n er antallet rekker og m er antallet kolonner. Dette kan markeres på flere måter:
.
Tilsvarende sier en også at n er rekke-dimensjonen og m er kolonne-dimensjonen. Matrisen karakteriseres som en (n × m)-matrise.
I en kvadratisk matrise er det like mange kolonner som rekker. Dersom det går klart fram at en matrise er kvadratisk, kan en oppgi dimensjonen som n. Fr. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri.... s.4
En matrise med bare én rekke eller én søyle kan betraktes som en vektor og kalles da henholdsvis en rekkematrise og en søylematrise, alternativ en rekkevektor og en søylevektor. Fr. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri.... s.124 Dimensjonen til disse vil være henholdsvis (1 × m) og (n × 1).
Matrise-elementer I en reell matrise er elementene reelle tall, og i en kompleks matrise er elementene komplekse. Mengden av alle reelle matriser skrives som , der er mengden av reelle tall. Mengden av komplekse matriser skrives tilsvarende som . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.xiv
Flere alternative skrivemåter for å spesifisere matriser er i vanlig bruk. Dersom alle elementene skal skrives ut, bruker en som regel en form for parenteser til å omslutte elementene:
En generell (n × m)-matrise med n rekker og m kolonner kan skrives på formen
Matrise-elementene skrives ofte med liten bokstav, og hvert element er definert ved to indekser: er elementet i rekke nummer og kolonne nummer .
Matriser kan også skrives i kompakt form, uten å definere hvert enkelt element:
De enkelte elementene kan spesifiseres ved hjelp av en regel, som i det følgende eksempelet:
Diagonaler I en kvadratisk matrise utgjør elementene med prinsipaldiagonalen eller hoveddiagonalen, ofte omtalt bare som diagonalen. Sekundærdialogen eller skjevdiagonalen går fra øvre høyre hjørne til nedre vestre hjørne, det vil si elementene . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.273
Sammen med hoveddiagonalen kan en definere sidediagonaler, der eller . Diagonalen med , det vil si diagonalen rett over hoveddiagonalen, kalles superdiagonalen. Tilsvarende kan en definere subdiagonalen som diagonalen rett under hoveddiagonalen.
Undermatriser Fra en generell matrise kan en definere en undermatrise eller en submatrise ved å slette at antall rekker og/eller søyler. Det følgende eksempelet viser hvordan en undermatrise er laget fra matrisen ved å slette en enkelt rad og en enkelt søyle, vist i rød farge;
Blokkmatriser En matrise definert ved et sett av undermatriser kalles en blokkmatrise eller en partisjonert matrise. I det følgende eksempelet er en blokkmatrise definert ved fire undermatriser :
Skrevet med alle elementene fullt ut, er matrisen gitt ved
Matriseoperasjoner
Elementære operasjoner
De følgende rekkeoperasjonene er kalt de elementære rekkeoperasjonene: H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.12
Ombytting av to rekker i matrisen. Multiplikasjon av alle elementene i en rekke med et tall ulik null. Addisjon av et multiplum av en rekke til en annen rekke.
De elementære søyleoperasjonene er definert tilsvarende. Sammen utgjør disse de elementære matriseoperasjonene.
Addisjon og subtraksjon To matriser og med samme dimensjon kan adderes ved å summere de enkelte elementene: H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.3
Subtraksjon defineres tilsvarende. Fra definisjonen følger det umiddelbart at matriseaddisjon er kommutativ, det vil si at .
Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon med en skalar er definert ved å multiplisere alle elementene i matrisen:
De to operasjonene matriseaddisjon og skalarmultiplikasjon gjør at mengden av (n×m)-matriser definerer et vektorrom.
Matrisemultiplikasjon Dersom er en (n×m)-matrise og er en (m×p)-matrise, så kan produktmatrisen defineres ved at matrise-elementene til er gitt ved summen
.
Her er og matrise-elementene til og . Produktmatrisen C er en (n×p)-matrise.
Matrisemultiplikasjon er assosiativ, slik at , når matrisene , og er slik at multiplikasjonene er definert. Videre er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon, slik at og . Derimot er multiplikasjonen ikke kommutativ, slik at generelt ikke er lik . Produktene og vil bare være definert samtidig dersom har dimensjonen (n × m) og har dimensjonen (m × n). Dette er tilfelle dersom begge matrisene er kvadratiske.
Et skalarprodukt mellom to vektorer kan betraktes som et produkt av en rekkematrise og en søylematrise. Matriseproduktet kan en dermed se på som en generalisering av skalarproduktet.T.M. Apostol: Calculus , Bind II s.54
Produkt av en matrise med seg selv kan skrives som en potens: . Ved å addere slike potenser kan en også lage matrisepolynom. En kan også definere kvadratroten av en matrise som en matrise med egenskapen . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.8
Med matrisemultiplikasjon er mengden av matriser en gruppe. Med både addisjon og multiplikasjon er mengden også en algebraisk struktur.
Kronecker-produkt Dersom er en (n×m)-matrise og er en (p×q)-matrise, så er Kronecker-produktet definert ved
Resultatmatrisen har dimensjon (np)×(mq). Produktet kalles også tensorprodukt og direkte produkt.
Hadamard-produkt Hadamard-produktet eller Schur-produktet for matriser er et elementvis produkt av to matriser med samme dimensjon (n×m):
Direkte sum Den direkte summen av to kvadratiske matriser er definert ved H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.4
Transponering Den transponerte matrisen er definert ved en ombytting av rekker og kolonner i den opprinnelige matrisen : H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.5
For den transponerte matrisen brukes også notasjonen , , og .T.M. Apostol: Calculus , Bind II s.91 Fr. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri.... s.2
Konjungert transponering Den konjugert-transponerte matrisen er definert ved en ombytting av rekker og kolonner i den opprinnelige matrisen samt kompleks konjugasjon av matrise-elementene:
kalles også den hermitisk-adjungerte til matrisen. Notasjonen er også brukt.
Invers Inversen til en kvadratisk matrise er definert som den entydig bestemte matrisen som oppfyller ligningen H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.7
der er identitetsmatrisen.
Matrisen er invertibel hvis determinanten til er ulik null: . I motsatt fall er matrisen singulær.
En (2×2)-matrise kan inverteres med formelen
.
Generalisert invers
For en generell matrise er en generalisert invers en matrise som oppfyller ligningen
.
Dersom er en kvadratisk (n×n)-matrise med rang n, så er . Den generaliserte inversen er generelt ikke entydig.
Matrisetyper
Kvadratiske matriser
De følgende definisjonene gjelder for kvadratiske matriser.
En båndmatrise er en matrise der det eksisterer to positive heltall og slik at elementene er lik null for og for . Båndbredden til matrisen er . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.227
En diagonalmatrise er en matrise der alle elementene utenom diagonalen er lik null. H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.5 En diagonalmatrise kan skrives , med elementene på diagonalen spesifisert.
En diagonaldominant matrise er en matrise der absoluttverdien av et diagonalelement er større eller lik summen av de andre elementene i en rekke. H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.238
En hermitisk matrise er en matrise der . Fr. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri.... s.173 H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.10
En Hessenberg-matrise er en matrise der elementene i matrisen eller i den transponerte matrisen er lik null for . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.250 G.H.Golub, C.F.Van Loan: Matrix computations s.6
En Hilbert-matrise er en matrise der . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.251
En idempotent matrise er en matrise der .
En identitetsmatrise er en diagonalmatrise der alle diagonalelementene er lik 1. En vanlig notasjon for identitetsmatrisen er .
En M-matrise eller en Minkowski-matrise er en ikke-singulær matrise der for og der også .
En nilpotent matrise er en matrise der for et heltall .G.H.Golub, C.F.Van Loan: Matrix computations s.7
En normalmatrise er en matrise der .
En ortogonal matrise er en ikke-singulær matrise der , det vil si .
En positiv-definit matrise er en matrise der produktet alltid er ikke-negativt. Tilsvarende er en negativt-definit matrise en matrise der produktet alltid er ikke-positivt.
En singulær matrise er en matrise med determinant lik null. Tilsvarende er en regulær matrise eller ikke-singulær matrise en matrise med determinant ulik null. H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.275 Fr. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri.... s.7
En skalarmatrise er en diagonalmatrise der alle diagonalelementene er samme tall , det vil si matrisen .
En skjevsymmetrisk matrise er en matrise der . H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.156
En symmetrisk matrise er en matrise der .
En Toeplitz-matrise er en matrise der elementene på en vilkårlig diagonal er reelle og like, det vil si at og er reelle tall.G.H.Golub, C.F.Van Loan: Matrix computations s.125
En triangulærmatrise er en matrise der elementene over eller under diagonalen er lik null. H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.11
En tridiagonal matrise er en matrise der elementene er lik null dersom .
En unitær matrise er en ikke-singulær matrise der .
En Vandermonde-matrise er en matrise der og er reelle eller komplekse tall. H. Lütkepohl: Handbook of matrices s.284
Generelle matriser
En glissen matrise er en matrise der de fleste elementene er lik null.
En nullmatrise er en matrise der alle elementene lik null. Nullmatrisen kan skrives som .
En positiv matrise er en reell matrise der alle elementene er positive.
Teori for kvadratiske matriser
Determinanter Utdypende artikkel: Determinant
For en reell, kvadratisk matrise er determinanten et reelt tall, entydig bestemt av elementene i matrisen. Tilsvarende er determinanten til en kompleks matrise et komplekst tall. Presist kan en si at determinanten er en funksjon med definisjonsmengde lik mengden av reelle/komplekse, kvadratiske matriser og med verdimengde lik mengden av reelle/komplekse tall.
Dersom en uttrykker en matrise som en samling av rekker, , så kan en definere determinanten som en funksjon med de følgende egenskapene:T.M. Apostol: Calculus , Bind II s.74