thumb|300px|Krumlinjete koordinater (q1,q2,q3) og tilsvarende basisvektorer (e1, e2, e3) lar en vilkårlig vektor v uttrykkes til venstre ved sine kontravariante komponenter. I den duale basisen (e1, e2, e3) vises den samme vektoren med sine kovariante komponenter. Krumlinjete koordinater er koordinatsystem hvor en eller flere av koordinatlinjene er krumme. På samme måte vil også en eller flere av koordinatflatene ha krumning. For å angi punkter på Jordens overflate benyttes for eksempel lengdegrad og breddegrad, som er slike koordinater. I astronomien bruker man på tilsvarende vis forskjellige himmelkoordinater.
Krumlinjete koordinater kan benyttes i euklidske rom hvor bestemte symmetriforhold gjør det naturlig og dermed tillater en enklere, matematisk beskrivelse. Et eksempel er utledningen av Keplers lover for planetbevegelse under påvirkning av tyngdekraften fra Solen. Dette gjøres enklest i kulekoordinater, da tyngdekraften bare avhenger av avstanden og derfor er symmetrisk om alle sentrale akser. På samme måte benyttes disse koordinatene i atomfysikken, hvor elektronene beveger seg i Coulomb-potensialet fra atomkjernen. For et molekyl som består av to atomer vil derimot polarkoordinater være naturlige, da molekylet kun har symmetri om aksen som forbinder atomene.
I ikke-euklidske rom beskrevet ved riemannsk geometri, er slike koordinater påkrevet. Dette gjelder på krumme flater og i Einsteins generelle relativitetsteori. Den forklarer hvordan det firedimensjonale tidrommet er krummet av den masse og energi som det inneholder. Moderne kosmologi er derfor beskrevet i slike koordinatsystem.
Basisvektorer
Krumlinjete koordinater kan defineres i et euklidsk rom ved å uttrykke de tre kartesiske koordinater xm = (x,y,z) som ikke-lineære funksjoner av tre nye parametre xμ = (x1,x2,x3). Skrives dette som må disse koordinattransformasjonene være «invertible» i et lokalt område av rommet, slik at man også kan beregne de inverse transformasjonene For eksempel, når man benytter polarkoordinater
i et todimensjonalt plan, så er den inverse transformasjonen
gyldig i halvplanet x > 0. I det andre halfplanet finnes en tilsvarende, invers transformasjon.
Hvis de kartesiske basisvektorene kalles for em , hvor den latinske indeksen m tar like mange verdier som dimensjonen på rommet, kan et vilkårlig punkt i rommet angis ved «posisjonsvektoren» . Vektorrommet har en euklidsk metrikk, og basisvektoren har per definisjon et indreprodukt
uttrykt ved Kronecker-deltaet på høyre side. Ved bruk av Einsteins summekonvensjon, som sier at man alltid skal summere over to like indekser i et matematisk uttrykk, kan posisjonsvektoren mer kompakt skrives som . På den måten er dens form uavhengig av hvor mange dimensjoner rommet har. Indeksen til den kartesiske koordinaten xm kunne like godt stått nede, men det er hensiktsmessig å la den stå oppe.
Krumlinjet basis Når man varierer bare én av koordinatene xμ i ligningene xm = xm(xμ ), beskriver de koordinatlinjen for denne koordinaten. Da koordinattransformasjonene er ikke-lineære, vil dette i alminnelighet være en krum kurve. I hvert punkt kan man nå velge å bruke tangentvektorene til disse koordinatlinjene som nye, lokale basisvektorer. Brukes det kartesiske uttrykket for posisjonsvektoren r, blir
når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. Denne krumlinjete basisen vil derfor være forskjellig fra punkt til punkt, gitt ved matrisen som er Jacobi-matrisen for transformasjonen. Lokalt i hvert endelig område av rommet kan den inverse matrisen finnest.
I en liten omegn om et punkt kan man nå uttrykke enhver vektor V ved sine komponenter på denne lokale basisen. Det betyr at hvor
Disse nye komponentene sies å være kontravariante, da de transformerer på motsatt vis sammenlignet med basisvektorene . Alle vektorer skal ha komponenter som transformerer på denne måten. Men dette betyr også at i dette koordinatsystemet er ikke lenger posisjonsvektoren r noen vektor, ettersom den ikke innfrir denne betingelsen. For separasjonen mellom to nære punkt gjelder derimot = hvor
Derfor er den differensielle separasjonen en ekte vektor.
Avstanden ds mellom to nærliggende punkt separert med vektoren følger fra = Dette «differensielle linjeelementet» kan derfor skrives som
hvor er komponentene til den metriske tensoren som må benyttes for slike krumlinjete koordinater. Tilsammen utgjør de en matrise med elementer som følger direkte fra transformasjonsligningene,
Endelige avstander mellom forskjellige punkter i rommet må beregnes fra linjeelementet ved integrasjon. Den korteste avstanden mellom to punkt er en geodetisk kurve. Den tilsvarer en rett linje i det euklidske rommet.
Volumelement
Metrikken kan også benyttes til å beregne volumer i krumlinjete koordinater. Har rommet tre dimensjoner, betraktes først et lite parallellepiped definert ved de infinitesimale vektorene , og langs koordinatlinjene gjennom et punkt. Volumet av dette er da gitt ved trippelproduktet
Men fra transformasjonsligningene for basisvektorene følger at trippelproduktet her kan uttrykkes ved determinanten til Jacobi-matrisen, = . Dette igjen er forbundet til metrikken via ved å bruke regelen for beregning av determinanten til produktet av matriser. På den måten blir det differensielle volumelementet
ved å bruke den mer kompakte notasjonen Dette resultatet kan generaliseres til å være gyldig i rom med et vilkårlig antall dimensjoner.
Eksempel thumb|240px|Polarkoordinater (r,θ ) med ortogonale basisvektorer (er, eθ). I polarkoordinater r = r cosθ ex + r sinθ ey finnes de transformerte basisvektorene ved direkte derivasjon,
Indreproduktene gir de metriske komponentene og Basisvektorene står derfor vinkelrett på hverandre slik at den metriske matrisen er diagonal,
På denne måten blir det differensielle linjeelementet i disse koordinatene. I andre koordinatsystem kan alltid den samme fremgangsmåten benyttes for å konstruere den nye koordinatbasisen.
I to dimensjoner gir det differensielle volumelementet arealet av tilsvarende lite flateelement I polarkoordinater er determinanten Skal man for eksempel i disse koordinatene beregne arealet av en sirkel med radius R, blir det
Mer generelt kan alle lignendene integral regnes ut på tilsvarende måte når integrandene er uavhengige av polarvinkelen θ.
Dual basis og kovariante komponenter Når koordinaten holdes fast, beskriver denne ene ligningen en flate i det euklidske rommet. På samme måte beskriver de andre transformasjonsligningene tilsvarende flater. Hvert punkt i rommet ligger på skjæringspunktet mellom slike flater. I nærmest omegn kan man benytte normalvektorene til disse flatene som et alternativt set med basisvektorer. De danner en dual basis som også blir kalt for en « kobasis» og blir skrevet med den greske indeksen i hevet posisjon. Hver slik vektor står vinkelrett på tangentvektorene i de andre retningene. Det følger fra direkte fra definisjonene,
De kontravariante komponentene til vektoren kan derfor bestemmes direkte fra indreproduktet Alternativt kan man nå skrive vektoren uttrykt ved dens komponenter i den duale basisen, det vil si at . Dette er vektorens kovariante komponenter Men dette er også lik med som betyr at
Metrikken kan derfor brukes til å «senke» en kontravariant indeks slik at man får en kovariant komponent. På tilsvarende måte er en kontravariant komponent gitt som hvor utgjør elementene i den metriske matrisen
At begge indeksene står oppe, betyr at denne inneholder de kontravariante komponentene av metrikken. Denne er igjen den inverse av den kovariante metrikken Det er en direkte konsekvens av definisjonene
da Kronecker-deltaet på høyre side utgjør elementene i enhetsmatrisen.
Med disse to metriske matrisene kan man skifte mellom kontravariante og kovariante komponenter. For eksempel, indreproduktet mellom vektorene V og U som er kan derfor skrives på de ekvivalente formene
Koordinattransformasjoner Hvis man velger å benytte et annet, krumlinjet koordinatsystem i det samme rommet, vil man også ha en sammenheng i de områdene hvor begge koordinatsystemene overlapper. Sammenhengene mellom deres basisvektorer er dermed
Det betyr at for en vektor vil de kontravariante komponentene transformere som
mens komponentene til metrikken transformerer som
det vil si som de kovariante komponentene til en tensor av rang to. I krumlinjete koordinater blir derfor metrikken omtalt som en «metrisk tensor».
Gradient
I det euklidske rommet E3 er den vanlige gradienten til en skalar funksjon Φ(x) definert som
Det er her naturlig å skrive basisvektorene som em selv om det vanligvis ikke er av betydning. Men ved en transformasjon til de krumlinjete koordinatene oppstår forbindelsen
med den duale basisen. Gradienten tar da formen
i dette mer generelle koordinatsystemet når den defineres på denne måten. På dette viset er gradienten automatisk definert med kovariant komponenter i motsetning til en vanlig vektor som har kontravariante komponenter. Gradienten får dermed samme form i alle koordinatsystem. Det gir den en særstilling i vektoranalysen hvor den også kalles for en differensial 1-form.
Christoffel-symbol
Hvis man betrakter et vektorfelt uttrykt i den kartesiske basisen, så forandrer det seg fra sted til sted i rommet gjennom varisjonene av komponentene. Hvis man i stedet benytter krumlinjete koordinater slik at , så vil også basisvektorene variere med posisjonen i rommet. Den totale forandringen av vektorfeltet får dermed to bidrag som kan uttrykkes ved en utvidet form for derivasjon. Den kalles den «kovariante deriverte» av vektorfeltet.
Hvordan komponentene varierer, kan uttykkes ved de partielle deriverte hvor operatoren På samme måte er forandringene til basisvektoren gitt ved de partielle deriverte Denne vektoren må kunne uttrykkes som en lineærkombinasjon av de andre basisvektorene slik at man kan skrive
når man igjen benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. De nye og foreløbig ukjente koeffisientene kalles Christoffel-symbol etter den tyske matematiker Elwin Christoffel som innførte disse størrelsene for omtrent 150 år siden. Da = så er dette symbolet symmetrisk i sine to nedre indekser. Det vil si at man alltid har at
Størrelsen på Christoffelsymbolene finnes fra metrikken Deriveres denne i retning får man
Dette forenkles ved å definere
som kalles et «Christoffel-symbol av første sort», mens det tidligere symbolet da blir et «Christoffel-symbol av andre sort». Den deriverte av metrikken kan da skrives som . To lignende uttrykk kan herav finnes ved å bytte om på indeksene og bruke de symmetriene som de har. Ved å innføre den alternative skrivemåten ∂αf = f,α for partiell derivasjon som derfor kan kalles «komma-derivasjon», gir disse tre relasjonene resultatet
for Christoffel-symbolet. Det er også symmetrisk i de to siste indeksene. Selv om det ser ut som en tensor med tre indekser, er det bare tilsynelatende. En direkte utregning viser at det transformerer på en mer komplisert måte under en koordinattransformasjon.
Ved direkte utregning i todimensjonale polarkoordinater finner man , mens . Likedan er , og Vanligvis er flertallet av symbolene lik med null, men det er ikke lett uten videre å vite hvilke.
Kovariant derivasjon
Når variasjonen av basisvektorene fra sted til sted nå er etablert, kan man også finne hvordan et vektorfelt varierer når det beskrives i krumlinjete koordinater. I retning skrives denne forandringen ved å benytte en generalisert nabla-operator. Når den virker på en vektor, gir den en ny vektor
når man i siste ledd bytter om på indeksene som det summeres over. De to leddene i parentesen kalles for den kovariante deriverte av denne vektorkomponenten. Det er vanlig å angi denne ved et semikolon eller ved bruk av det samme nabla-symbolet,