Spesifikk baneenergi

Den spesifikke baneenergien spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at størrelsen er konstant for en gitt bane under ideale forhold. Her gjelder altså også at summen av kinetisk energi og potensiell energi bevares

Vis man forsetter ideen, kommer man til Vis-Viva ligningen, en fundamental ligning i himmelmekanikk.

Navnet spesifikk baneergi kommer fra at man ikke ser på den egentlige energien , men på energien per masse

Det betyr at SI-enhet er: m2·s−2. betegner her den reduserte massen .

Kraver Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser og som er i avstand fra hverandre. Tyngdekraften virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at . Det betyr at er sentrallegemet i origo, og at er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik og tolegemeproblemets ligning er

med «gravitasjonsparameteren» og avstandsvektor (lengden er ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi .Man må ikke anta dette for å utlede den spesifikke baneenergien. Uten det er gravitasjonsparameteren , forblir den reduserte massen (ikke ) og origo ligger i Massesentrumet. Men forenklingen er nesten alltid god og det blir enklere og gå til Vis-Viva ligningen fra den spesifikke baneenergien.

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven .

Spesifikk baneenergi miniatyr|Avstandsvektoren , hastighetsvektoren , sann anomali og flyvinkelen av i omløpet rundt . De viktigste størrelsene til ellipsen er også merket.

Man får den spesifikke baneenergien når man multipliserer (skalarprodukt) tolegemeproblemets ligning med hastighetsvektoren

Fra bildet til høyre får man

(Endringen i den radiale komponenten til , ikke lengden av )

de følgende differnsialene gjelder

og altså

Det betyr at denne summen er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat energien per masse til satelliten, man gjenkjenner den kinetiske energien per masse og den potensielle energien per masse på grunn av gravitasjon

med integrasjonskonstanten som kan velges i forhol til når skal være. Vanligvis velger man .

I ord betyr ligningen at baneernegien blir større jo lengre satelliten er fra sentrallegemet og jo raskere den beveger seg. Valget betyr at energien er negativ når det lille legemet står i ro på overflaten til det større legemet eller når bane er lukket. Energien blir positiv når satellitten flykter ut av gravitasjonsfeltet.

Vis-Viva ligning

Ligningen lengre opp kan omskrives til den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen. Det er nok å se på den spesifikke energien i et punkt av omløpsbanen (energien er konstant), f. eks. på periapsen. Med det spesifikke relative drivmomentet blir hastigheten

For Keplerbaner gjelder i tillegg

Til sammen blir den spesifikke baneenergien, med unntak av parabelen der :

Noen elementare omsrkivelser gir den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen

Den viktige sammenhengen sier at energien til satellitten er bare avhengig av gravitasjonsparameteren til sentrallegemet og den store halvaksen til banen.

Dette gjelder for elliptiske baner: , som også inneholder sirkelen som spesialtilfellet med ; og for hyperboliske baner: , . For grensetilfellet paraboliske bane er den spesifike baneenergien 0. Da befinner seg satellitten presist på grensen mellom fengslet i gravitasjonsfeltet til sentrallegemet og flykt fra gravitasjonsfeltet til sentrallegemet.

Eksempler +Banehøyden, den tangensielle hastigheten, omløpsetiden og den spesifikke baneenergien til noen baner rundt JordenOmløpsbaneAvstand fra sentrum til sentrumHøyden over Jordens overflate über der ErdoberflächeOmløpshastighetOmløpstidSpesifik baneenergiStå på jordens overflate på ekvator (Sammenligningsverdi, ingen omløpsbane)6 378 km0 km465,1 m/s1 døgn (24h)−62,6 MJ/kg Omløpsbane på høyden av overflaten (ekvator)6 378 km0 km7.9 km/s1 h 24 min 18 sec−31,2 MJ/kg Lav omløpsbane6 600 til 8 400 km200 til 2000 kmSirkel: 6,9 til 7,8 km/sEllipse: 6,5 til 8,2 km/s1 h 29 min til2 h 8 min−29,8 MJ/kg Molniya-Bane6 900 til 46 300 km500 til 39 900 km1,5 til 10,0 km/s11 h 58 min−4,7 MJ/kg Geostasjonær bane42 000 km35 786 km3,1 km/s23 h 56 min−4,6 MJ/kg Månens bane363 000 til 406 000 km357 000 til 399 000 km0,97 til 1,08 km/s27,3 døgn−0,5 MJ/kg

Se også Spesifikk relativ drivmoment, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.

Fotnoter

Referanser

Kategori:Astrodynamikk Kategori:Baner