Elliptisk integral er navnet som benyttes på en bestemt type integral som opptrer ved beregning av buelengden til en ellipse og i mange andre sammenhenger. De ble først systematisk studert av den franske matematiker Adrien-Marie Legendre og spilte en avgjørende rolle for Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi i deres etablering og utforskning av elliptiske funksjoner. Disse er inverse til de elliptiske integralene.
Matematisk sett sies et integral å være elliptisk når det har formen
hvor R(x,y) er en rasjonell funksjon og y2 = P(x) er et polynom av tredje eller fjerde grad. Integralet vil derfor inneholde kvadratrøtter av dette polynomet. Er graden til polynomet høyere, sies integralet å være hyperelliptisk.
De tre hovedtyper
Den generelle formen til et elliptisk integral er
hvor A, B, C og D er generelle polynomer, mens polynomet P har grad tre eller fire. Ved et skifte av integrasjonsvariabel kunne Lagrange i 1786 demonstrere at integralet med et tredjegrads polynom kunne overføres til et polynom av fjerde orden. I 1793 la Legendre frem et arbeid Mémoire sur les trascendantes elliptiques for det franske vitenskapsakademiet hvor han viste at alle slike integral kunne reduseres til tre hovedtyper.H. Hancock, Elliptic Integrals, John Wiley & Sons, New York (1917). Disse kan defineres på ulike måter med litt varierende notasjon.M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.
Første type
Det elliptiske integralet av første type kan skrives som
og er en funksjon av den øvre grensen x ≤ 1. Parameteren 0 < k < 1 kalles integralets modulus. Ved å innføre en ny integrasjonsvariabel kan integralet alternativt skrives som
hvis den øvre grensen i integralet skrives som x = sinφ. Vinkelen φ kalles amplituden til integralet. Når denne tar sin maksimale verdi φ = π/2 som tilsvarer x = 1, har man det «fullstendige» integralet av første type,
thumb|300px|Det fullstendige, første elliptiske integralet K(k). Ved å ekspandere integranden i en rekke med potenser av k2, kan verdien av dette integralet finnes fra
Alternativt kan det numeriske resultatet beregnes fra den aritmetisk-geometrisk middelverdi som
For å oppnå en viss nøyaktighet er denne metoden mye raskere enn å bruke rekkeutviklingen. Mens K(0) = π/2, er integralet logaritmisk divergent for k = 1.
Andre type thumb|300px|Det fullstendige, andre elliptiske integralet E(k). Det elliptiske integralet av andre type er definert som
Ved å innføre vinkelen φ som ny variable, kan det alternativt skrives som
Dermed er det fullstendige integralet av andre type gitt ved funksjonen
Ved en rekkeutvikling av integranden kan denne beregnes fra
Mens E(0) = π/2, er nå E(1) = 1 som sees direkte fra definisjonen. Dette fullstendige integralet gir omkretsen av en ellipse.
Tredje type Det elliptiske integralet av tredje type er definert som
som alternativt kan skrives som
Her inngår en ny parameter n som kan ha en hvilken som helst verdi. Også for denne typen kan man definere et fullstendig integral på samme måte som for de to andre typene.
Buelengder av lemniskaten og ellipsen
Både lemniskaten og ellipsen har spilt en viktig rolle i utviklingen og den generelle forståelsen av elliptiske integral og elliptiske funksjoner. Mens beregning av buelengden til lemniskaten fremviste noen av de første, viktige egenskaper ved elliptiske integral, har beregning av buelengden til ellipsen gitt navnet til disse integralene. Mens hele omkretsen til lemniskaten er gitt ved et fullstendig elliptisk integral av første type, er omkretsen til ellipsen gitt ved det tilsvarende integralet av andre type.R. Ayoub, The lemniscate and Fagnano's contributions to elliptic integrals, Archive for History of Exact Sciences, 29 (2), 131-149 (1984).
Lemniskaten
Ved bruk av polarkoordinater kan ligningen for en lemniskate skrives som . Her er 2a avstanden mellom dens brennpunkt som ligger på x-aksen symmetrisk om origo. Den delen av kurven som ligger i første kvadrant, utgjør en fjerdedel av hele kurven og er beskrevet ved at vinkelen θ varierer i intervallet 0 < θ ≤ π/4. Kvadratet av den differensielle buelengden ds blir derfor
Buelengden til lemniskaten mellom origo og et punkt med polar vinkel θ''' < π/4 er derfor gitt som
Dette integralet kan omskrives på standard Legendre form ved å innføre den nye integrasjonsvariable . Da er slik at buelengden er gitt ved det elliptiske integralet
med modulus k = 1/√2 og . Buelengden i første kvadrant tilsvarer θ' = π/4 som derfor betyr at ψ' = π/2. Hele omkretsen til lemniskaten er derfor gitt ved det fullstendige elliptiske integralet av første type som
Alternativt kan man benytte som ny integrasjonsvariabel. Den øvre grensen til integralet vil da tilsvare og
Det første integralet er gitt ved den lemniskatiske konstanten ω slik at Plem = 2ωa√2. Det kan derfor også betraktes som et fullstendig elliptisk integral av første type med modulus k2 = - 1 eller k = i = √-1 lik med den imaginære enhet. Man har derfor
som tilsvarer at K(1/√2) = √2 K(i ). På samme kan vises at E(i ) = √2 E(1/√2).
Ved å definere i det siste integralet, ser man at uttrykket for omkretsen tar formen
.
På denne formen kan integralet er gitt ved den aritmetisk-geometriske middelverdien av 1 og √2,
.
Dette resultatet ble funnet av Gauss i 1800 og markerte begynnelsen på hans utforskning av elliptiske integral og funksjoner.D.A. Cox, The arithmetic-geometric mean of Gauss, L’Enseignement Mathématique, 30, 275-330 (1984).
Ellipsen
Ligningen for en ellipse med sentrum i origo og hovedakser a og b langs x- og y-aksen er
.
Den kan parametriseres som x = a sinθ, y = b cosθ hvor vinkelen 0 < θ ≤ 2π . Kvadratet av den differensielle buelengden kan derfor skrives som
Lengden av buen mellom 0 < θ < θ' er derfor gitt ved et elliptisk integral av andre type,
.
Modulus er lik med eksentrisiteten gitt som .
Hele omkretsen til ellipsen kommer frem når den øvre grense θ' = 2π = 4 × π /2 og er derfor gitt ved fullstendige integralet
I grensen går ellipsen over til å bli en sirkel med radius a. Da vil Pell → 2π a siden E(0) = π /2.
Legendres identitet
Ved direkte derivasjon av de fullstendige integralene K(k ) og E(k ) med hensyn på modulus k , finner man differensialligningene
.
De kan kombineres til å gi en konsistensrelasjon som disse integralene på oppfylle. Ved å innføre den «komplimentære modulus»
,
samt de tilsvarende funksjonene K' (k ) = K(k' ) og E' (k ) = E(k' ), kan man vise at den deriverte hvor Denne spesielle kombinasjonen av de fullstendige elliptiske integralene er derfor uavhengig av k og lik med en konstant. For å finne denne kan man for eksempel regne den ut i grensen hvor integralene kan beregnes analytisk. Det gir identiteten
som første ble funnet av Legendre.P. Duren, The Legendre Relation for Elliptic Integrals, in J. H. Ewing, F.W. Gehring, Paul Halmos: Celebrating 50 years of Mathematics, Springer-Verlag, New York (1991). ISBN 978-1-4612-6964-9.
For den spesielle verdi k = 1/√2 er K' = K og E' = E. Identiteten til Legendre reduseres da til (2E - K )K = π /2. Høyresiden kan nå forenkles siden
Ved å benytte at K(1/√2) = √2 K(i ) og E(i ) = √2 E(1/√2), har man da at
Dette spesielle resultatet var blitt funnet på en helt annen måte allerede i 1782 av Euler i forbindelse med hans utforskning av lemniskatens egenskaper.G. Almkvist and B. Berndt, Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary , The American Mathematical Monthly, 95 (7), 585-608 (1988).
Addisjonsteorem
Det elliptiske integralet av første type opptrer i forbindelse med beregning av buelengden til lemniskaten. Allerede i 1754 hadde Euler vist at summen av to slike integral kunne skrives som et nytt integral av samme type og med samme modulus, men med en annen øvre grense.M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2, Oxford University Press, New York (1972). ISBN 0-19-506136-5. Dette var et av de første eksempel på hva som Niels Henrik Abel senere generalisert til sitt berømte addisjonsteorem.
Mer konkret viste Euler at
hvor
Hvis disse integralene utvides til å gjelde i det komplekse planet, kan man i alminnelighet få ekstra termer på høyre side som kommer fra periodene de kan inneholde ved at integrasjonsveiene går rundt poler til integranden. Det er det samme som skjer i det enklere tilfellet når polynomet i kvadratroten i nevneren er av andre grad i stedet for fjerde grad som her.
Dette potensielle problemet unngås ved å innføre x = sinφ som Legendre gjorde. Da har man addisjonsteoremet
hvor nå
med
.
Tilsvarende, men noe mer omstendlige addisjonsegenskaper har også de to andre typene av elliptiske integral. Disse resultatene førte Legendre meget nær til oppdagelsen av elliptiske funksjoner. Dessverre for han ble han meget raskt innhentet og tilbakelagt på dette feltet av Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi.
Elliptiske funksjoner
Abel og Jacobi gjorde sin store gjennombrudd ved å invertere de elliptiske integralene. Det betyr at man betrakter den øvre grensen i integralet som en funksjon av integralets verdi. Denne funksjonen er en elliptisk funksjon. Jacobi tok utgangspunkt i den første typen med verdien F(x;k ) = u hvor u er en funksjon av x. Den «elliptiske sinusfunksjonen» defineres så som den inverse funksjonen til dette integralet, det vil si x = sn(u,k ). Med bruk av trigonometriske variable er derfor
og tilsvarende for den elliptiske cosinusfunksjonen
Disse er de to viktigste av Jacobis elliptiske funksjoner. I tillegg er det vanlig å definere
De oppfyller derfor relasjonene
og er generaliseringer av de trigonometriske funksjonene. Men i motsetning til disse som har perioden 2π , har de elliptiske funksjonene to perioder gitt ved de fullstendige integralene K og K' .
Addisjonsteoremet for integralet av første type som definere den elliptiske sinusfunksjonen sn(u,k ), kan nå skrives som u3 = u1 + u2. Det kan nå skrives som
når man for enkelhets skyld undertrykker den felles modulus k i alle funksjonene og skriver sn(u,k ) = snu. Denne identiteten tilsvarer den trigonometriske setningen for sinus til en sum av to vinkler. De andre elliptiske funksjonene tilfredsstiller tilsvarende addisjonsteorem.
Landens transformasjon
Ved å skifte integrasjonsvariable i de elliptiske integralene kan disse uttrykkes på andre måter. Spesielt viktig er Landens transformasjon som ble tatt i bruk av Legendre. Hvis man kaller den transformerte amplitude for φ1 og den transformerte modulus k1, så er sammenhengen med de opprinnelige verdiene φ og k gitt ved
Dette kalles en «avtagende transformasjon» da den nye modulus er mindre enn den opprinnelige. Det følger fra
Sammenhengen mellom verdien til integralet før og etter transformasjonen sammenfattes i ligningen
Transformasjonen gir en reduksjon av modulus som er meget rask og k nærmer seg null etter en håndfull gjentagelser. I denne grensen kan integralet regnes ut analytisk.
Spesielt enkelt blir dette for det fullstendige integralet som tilsvarer φ = π/2. Den transformerte amplituden blir da φ1 = π slik at Gjentas så transformasjonen videre i det uendelige, vil man til slutt ende opp med en modulus som er lik null. Ved å benytte at kan det fullstendige integralet regnes raskt ut fra
.
De andre typene av elliptiske integral kan også beregnes numerisk ved den samme transformasjon.
Tas transformasjonen i motsatt retning, kan man gå til integral med større modulus. En slik «økende Landen-transformasjon» kan også benyttes i numeriske beregninger av de elliptiske integralene.A. Cayley, An elementary treatise on elliptic functions, Deighton, Bell and Co, Cambridge (1876).
Modulære transformasjoner
Under en avtagende Landen-transformasjon forandres den elliptiske modulusen k til
hvor k' er den opprinnelig, komplimentære modulus. Den nye blir
.