thumb|right|Geometrisk definisjon av prikkproduktet mellom to vektorer A og B. Et prikkprodukt mellom to koordinatvektorer er i matematikk summen av produktene mellom to og to vektorkoordinater. Vanligvis vil prikkproduktet definere et indreprodukt i rommet, og begrepene prikkprodukt, skalarprodukt og indreprodukt brukes da synonymnt. Prikkproduktet mellom to vektorer og skrives , og produktet har fått navn etter bruken av prikk-symbolet.
Resultatet av et prikkprodukt er en skalar, og verdien er uavhengig av valg av ortonormal basis.
Prikkproduktet har mange anvendelser i matematikk og fysikk. Produktet kan gi en kompakt, enkel form til mange matematiske uttrykk. Flere geometriske setninger, inkludert cosinussetningen, lar seg bevise ved hjelp av prikkprodukt.
Definisjon
Et koordinatrom er et vektorrom der vektorene er n-tupler av reelle eller komplekse tall, eller . I det reelle tilfelle er vektorrommet euklidsk, i det komplekse tilfelle unitært. I slike n-dimensjonale rom kan prikkproduktet generelt defineres algebraisk. I to og tre dimensjoner kan en også bruke en geometrisk definisjon.
Algebraisk definisjon
I vektorrommet er prikkproduktet mellom to koordinatvektorer og definert som en algebraisk operasjon
.
Med vektorene representer som søylematriser kan prikkproduktet også skrives som et matriseprodukt:
,
der er den transponerte av matrisen .
I vektorrommet over komplekse tall kan en tilsvarende definere
.
Definisjonen bruker nå den komplekst konjugerte av . Det følger av egenskaper til kompleks konjugasjon at prikkproduktet alltid er et reelt tall.
Geometrisk definisjon
I vektorrommene og kan en definere normen (lengden) av en vektor , skrevet . I er den euklidske normen
.
Prikkproduktet kan da defineres som F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.30
,
med lik vinkelen mellom de to vektorene, definert geometrisk.
Sammenheng mellom definisjonene thumb|Vektorkomponenter i en ortonormal basis I vektorrommene og er de to definisjonene ekvivalente. I er standardbasisen definert ved de to vektorene og . La prikkproduktet være definert geometrisk. De to vektorene har begge norm lik 1 og står vinkelrett på hverandre:
.
Her er vinkelen mellom enhetsvektor i og j, og er Kronecker-delta. For et vilkårlig prikkprodukt gjelder da
.
Dette svarer til den algebraiske definisjonen av prikkproduktet.
Dersom en omvendt starter med den algebraiske definisjonen, så kan en bruke de geometriske sammenhengene
.
Her er vinkelen mellom vektoren og basisvektoren , og tilsvarende for . Prikkproduktet er dermed
.
Siden differensen er vinkelen mellom og , svarer dette til den geometriske definisjonen av prikkproduktet.
Egenskaper
Det reelle prikkproduktet er kommutativt:
Det komplekse prikkproduktet har hermitsk symmetri:
Det reelle prikkproduktet er bilineært, det vil si lineært i hver av faktorene:
Det komplekse prikkproduktet er sesquilineært, det vil si lineært i første argument og lineært i den kompleks-konjungerte av andre argument.
Prikkproduktet er generelt positivt definit:
Dersom vektorene og er funksjoner av en variabel , så er den deriverte gitt ved produktregelen
Prikkprodukt og indreprodukt I det euklidske vektorrommet og i det unitære rommet vil den algebraiske definisjonen av prikkproduktet generelt definere et indreprodukt. Et vilkårlig endelig-dimensjonalt reelt vektorrom vil være isomorft med . Dette betyr at det eksisterer en enentydig funksjon mellom vektorene i og i . Er det i definert et indreprodukt , så svarer dette også til prikkproduktet i , på følgende måte:
La være en ortonormal basis i , basert på det definerte indreproduktet. Da kan alle vektorer i uttrykkes ved hjelp av denne basisen:
Koordinatvektoren er da en vektor i svarende til i . Merk at vektoren ikke er lik , de vil generelt ligge i to ulike rom.
Indreproduktet av to vektorer i er nå
I et generelt endelig-dimensjonalt rom er det altså nær forbindelse mellom indreproduktet og et prikkprodukt, og begrepene prikkprodukt, skalatprodukt og indreprodukt brukes ofte om hverandre.
Vinkel fra prikkprodukt I et generelt endelig-dimensjonalt vektorrom kan en fra den algebraiske definisjonen av prikkproduktet også definere en generalisert vinkel mellom to vektorer ulik null:
Cauchy–Schwarz’ ulikhet sikrer at vinkelen alltid vil være veldefinert. I vektorrommene og er denne definisjonen i samsvar med det geometriske vinkelbegrepet.
To vektorer sies å være ortogonale dersom prikkproduktet mellom dem er lik null. Vinkler er vanligvis ikke definert i et komplekst vektorrom, men egenskapen ortogonalitet brukes både i reelle og komplekse rom. F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.203 Vinkeldefinisjonen gir ikke mening dersom en av vektorene er en nullvektor, men en nullvektor er likevel ortogonal til alle andre vektorer.
I planet og rommet er vinkelen spiss dersom prikkproduktet er positivt, stump dersom prikkproduktet er negativt.
Projeksjoner
Skalarprojeksjonen av en vektor på en annen ikke-null-vektor er definert ved prikkproduktet:
.
Igjen er vinkelen mellom de to vektorene. Skalarprojeksjonen er skalarkomponenten av langs .
Tilsvarende er vektorprojeksjonen av på definert ved
Dette er en vektor med samme retning som og med lengde lik skalarprojeksjonen. Vektorprojeksjonen er vektorkomponenten av langs .
Skifte av ortonormal basis Prikkproduktet vil ikke endres av et skifte i ortonormal basis, svarende til at koordinatsystemet roteres i rommet. F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.190 For et reelt vektorrom kan et slikt skifte av basis uttrykkes på matriseform som
Her er en vilkårlig koordinatvektor på søyleform, er den samme vektoren uttrykt i en ny basis, og er en ortogonal matrise. En ortogonal matrise har egenskapen
,
der er identitetsmatrisen. For prikkproduktet i den nye basisen får en dermed
.
Eksempel Gitt vektorene og . Fra den algebraiske definisjonen er prikkproduktet
Vektorene står ortogonalt på hverandre.
Volumprodukt right|thumb|240px|Tre vektorer definerer et parallellepiped I vil tre vektorer , og kunne definere et parallellepiped. Volumet av dette er gitt ved volumproduktet:
.
Operatoren viser til et kryssprodukt. Volumproduktet er positivt når vektorene , og i denne rekkefølgen definerer et høyreorientert system. Produktet er null hvis en av vektorene ligger i planet til de to andre, slik at de tre vektorene er lineært avhengige.
Med vektorkoordinater i standardbasisen er romproduktet gitt ved en determinant:
Volumproduktet kalles også det skalare vektorproduktet og romproduktet F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.47-49.
Anvendelser Cosinussetningen thumb|Notasjon for en generell trekant For en vilkårlig trekant gir cosinussetningen, også kalt den utvidede pytagoreiske læresetning, en sammenheng mellom sidelengdene:
Denne lar seg lett bevise ved hjelp av prikkproduktet. Sidevektorene i trekanten er , og , og sidelengdene er tilsvarende osv.
.
Ved hjelp av prikkproduktet får en da
.
Ligning for et plan
Ligningen for et plan i rommet kan skrives på formen:
.
Vektoren er koordinatene til et vilkårlig punkt i planet. Planet går gjennom punktet og har normal .
Taylorutvikling av skalarfelt
For et reelt skalarfelt kan en første-ordens taylorutvikling skrives ved hjelp av et prikkprodukt:
Mekanisk arbeid
I mekanikk er arbeidet til en konstant kraft som flytter et legeme en veilengde gitt ved et prikkprodukt:
Historie Historisk har notasjon for et prikkprodukt variert sterkt. Hermann Grassmann (1809–1877) brukte navnet «indre produkt» og skrev dette i 1846 som . Flere forfattere fulgte hans notasjon, men også , og har vært i bruk. Navnet prikkprodukt og prikk-symbolet ble første gang brukt i boka Vector analysis (1902) av Josiah Willard Gibbs.
Referanser
Litteratur
Kategori:Lineær algebra