thumb|right|Indreproduktet av to vektorer A og B i et euklidsk rom er projeksjon av den ene på den andre multiplisert med lengden av denne. Et indreproduktrom er i matematikk et vektorrom der det er definert et indreprodukt. Indreproduktrom generaliserer egenskaper fra euklidske rom, og spesielt viktig er ortogonalitet. I et indreproduktrom kan en naturlig definere en norm og kan da også studere egenskaper knyttet til lengde og avstand i rommet.
Et komplett normert vektorrom kalles et Hilbert-rom.
Indreproduktrom er viktige i mange deler av matematikk, inkludert geometri, approksimasjonsteori og fourieranalyse.
Definisjon Et vektorrom er et indreproduktrom når strukturen har definert et indreprodukt, en funksjon som for ethvert par av vektorer og definerer en skalar , slik at funksjonen oppfyller de følgende egenskapene R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.180ff
Kompleks-konjungert symmetri: Additivitet: Homogenitet: Positivitet: , der hvis og bare hvis .
Definisjonen gjelder for både reelle og komplekse vektorrom. I symmetriegenskapen inngår definisjonen av kompleks konjugasjon.
Indreproduktet kalles også et skalarprodukt. For euklidske rom brukes også navnet prikkprodukt.
Ortogonalitet
To vektorer og kalles ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null:
.
Dette kan også skrives som . I geometri brukes normal, perpendikulær og vinkelrett synonymt med ortogonalitet.
En vektor er ortogonal til en undermengde dersom er ortogonal til alle vektorer i . Også to undermengder og kan være ortogonale, dersom
.
Det ortogonale komplementet til en mengde i et indreproduktrom er
Ortogonale vektorer er svært viktige i mange deler av matematikken, og ikke minst er ortogonale funksjoner viktige. I et vektorrom av reelle, kontinuerlige funksjonerpå et intervall kan for eksempel indreproduktet defineres som
Her er en passende vektfunksjon, som alltid må være positiv.
Ortogonale trigonometriske funksjoner De trigonometriske funksjonene
utgjør et ortogonalt sett av funksjoner, med vektfunksjonen og .
Tilsvarende gjelder for cosinus-funksjonene, og disse relasjonene er en del av fundamentet i fourierananalyse.
Ortogonale polynom
Mange klasser av polynom er ortogonale, med passende definisjon av vektfunksjon og intervall. Dette gjelder for eksempel Tsjebysjev-polynom, Legendre-polynom og Laguerre-polynom. Disse polynomklasene er viktige i approksimasjonsteori.
Bessel-funksjoner Bessel-funksjoner er ortogonale i , med vektfunksjon .
Norm, avstand og vinkler I et indreproduktrom kan en definere normen til en vektor ved
.
For to ortogonale vektorer gjelder en generalisering av Pytagoras’ læresetning:
.
Metrikken gir avstanden mellom to vektorer og og defineres fra normen på vanlig måte:
.
I reelle vektorrom kan vinkelen mellom to vektorer og som begge er ulik null nå defineres ved
.
Vinkelen er veldefinert, som følge av Cauchy–Schwarz’ ulikhet. I de euklidske rommene og er definisjonen sammenfallende med den vanlige geometriske vinkeldefinisjonen. Vinkler er vanligvis ikke definert i et komplekst vektorrom, og vinkelbegrepet er heller ikke spesielt viktig i generelle reelle vektorrom. Egenskapen ortogonalitet - som svarer til en vinkel på 90 - er derimot generelt svært viktig. F. Fabricius-Bjerre: Lærebog i geometri s.203
Ortonormal basis I et normert indreproduktrom kan en i mange tilfeller definere en ortonormal basis, et sett av vektorer som alle har lengde 1 og som står gjensidig ortogonalt på hverandre:
.
Her er Kronecker-delta.
Ethvert separabelt indreproduktrom har en ortonormal basis.
Hilbert-rom
Et normert vektorrom er komplett dersom alle Cauchy-følger i rommet konvergerer mot en grense i rommet. Et komplett indreproduktrom kalles et Hilbert-rom, etter den tyske matematikeren David Hilbert.
Ethvert Hilbert-rom er også et Banach-rom, et komplett, normert vektorrom. Et indreproduktrom som ikke er komplett kalles også et ''pre-Hilbert-rom. Alle indreproduktrom kan gjøres komplette, slik at til alle indreproduktrom svarer det et Hilbert-rom.
Eksempler
Euklidske rom Alle euklidske rom, inkludert , er Hilbert-rom.
Rom av følger Et vektorrom av følger der kvadratsummen er begrenset:
.
kan gjøres til et indreproduktrom med indreproduktet
.
Hõlders ulikhet sikrer at indreproduktet er endelig.
Referanser
Litteratur
Kategori:Lineær algebra