thumb|300px|Hall-effekten arter seg som en spenning UH  på tvers av den påtrykte strømmen I og det ytre magnetfeltet B. Hall-effekt er en elektrisk spenning som oppstår i et strømførende materiale som befinner seg i et magnetfelt. Den skyldes at den elektriske strømmen påvirkes av Lorentz-kraften fra magnetfeltet slik at det bygger seg opp en ladningsforskjell i lederen og dermed et elektrisk felt på tvers av den gitte strømretningen.

Når magnetfeltet B står vinkelrett på en plan, elektrisk leder med tykkelse a og som fører strømmen I, kan Hall-spenningen skrives som

der RH  kalles Hall-koeffisienten. Den er bestemt ved egenskaper til materialet i lederen og kan variere med temperaturen. Koeffisienten må ikke forveksles med Hall-motstanden som er en elektrisk motstand karakteristisk for effekten. Når Hall-koeffisienten er konstant, vil Hall-motstanden øke proporsjonalt med magnetfeltet.

Effekten ble oppdaget av Edwin Hall i 1879 da han ville undersøke hvordan et magnetfelt kunne påvirke den elektriske ledningsevnen til materialer. Siden er den blitt praktisk viktig for måling av styrken til magnetfelt. I det omvendte tilfellet når styrken av dette er kjent, kan den benyttes til å skaffe seg et bilde av hvordan den mikroskopiske ladningstransporten foregår i materialet.

Spesielt stor interesse har Hall-effekten hatt etter 1980 da den tyske fysiker Klaus von Klitzing oppdaget at Hall-motstanden antar spesielle, diskrete verdier ved lave temperaturer og sterke magnetfelt. Dette fenomenet skyldes kvantemekanikken og omtales i dag som den kvantiserte Hall-effekten. Den har i dag stor teoretisk og praktisk betydning.

Elektrisk strøm i magnetfelt

Den klassiske Hall-effekten kan forklares i Drude-modellen for ladningstransport i elektriske ledere. I det enkleste tilfelle antar man at den skyldes ladningsbærere med ladning q og tetthet n som beveger seg med driftshastigheten v. Det resulterer i en strømtetthet av størrelse . Hvis denne strømmen befinner seg i et magnetfelt B, vil hver ladningsbærer bli utsatt for den magnetiske Lorentz-kraften som tvinger ladningen bort i en retning vinkelrett både til J og B. M.A. Omar, Elementary Solid State Physics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts (1975). ISBN 0-201-05482-5.

thumb|upright=2|right|Hall-effekt sett ovenfra (venstre) og fra siden (høyre). Den elektriske kraften Fe skyldes ladninger på sidene og balanserer den magnetiske kraften Fm. Hall-spenningen VHall  er transvers både til strømmen I  og magnetfeltet B. Hvis den plane lederen ligger i xy-planet og B-feltet normalt til dette, vil Lorentz-kraften skyve ladningene i den negative y-retningen. Det medfører at et ladningsunderskudd oppstår på den motsatte siden og bygger opp et elektrisk felt E i denne retningen. Når dette har økt til å gi en like stor elektrisk kraft q E som Lorentz-kraften, vil ladningstransporten i x-retning fortsette uhindret. Det skjer derfor når størrelsen til det elektriske feltet er blitt eller

Hvis lederen har bredde b, er den tilsvarende Hall-spenningen UH = Ey b. Da kan strømtettheten også uttrykkes ved den totale strømmen I = Jx ab der a er tykkelsen til lederen. Den klassiske verdien til Hall-koeffisienten er derfor

og er uavhengig av magnetfeltet. På samme måte er også den elektriske motstanden i strømretningen uavhengig av dette. I denne beskrivelsen av Hall-effekten er det derfor ikke noen magnetoresistans. Hall-motstanden kan nå skrives som og øker proporsjonalt med magnetfeltet B i denne klassiske teorien.

I metaller skjer ladningstransporten ved flytting av elektroner. Ladningen q er derfor negativ slik at Hall-koeffisienten forventes å være negativ. Det er også i overensstemmelse med målinger. Men det finnes unntak, som for eksempel for sink Zn. Det kan forklares ved en mer komplisert ladningstransport i dette metallet enn antatt i den klassiske Drude-modellen basert på frie elektroner. Siden elektronets ladning er kjent, vil en måling av Hall-effekten gi direkte informasjon om tettheten n i lederen.

Mer generelt i halvledere kan ladningstransporten i tillegg forgå ved transport av hull med motsatt ladning enn elektronet. Her består ladningstransporten derfor av to komponenter slik at uttrykket for Hall-koeffisientene blir mer komplisert. N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Reinhart and Winston, New York (1976). ISBN 978-0-030-83993-1.

Kvantisert Hall-effekt

thumb|360px|Ved den heltallig QHE varierer Hall-motstanden ρxy i veldefinerte stepp som blir jevnt mindre og forsvinner i den klassiske grensen der magnetfeltet B blir svakere. I tynne skikt mellom halvledere som ble kjølt ned til lave temperaturer og utsatt for meget sterke magnetfelt, viser Hall-motstanden et klart avvik fra å være proporsjonal med dette feltet slik som det er forventet i den klassiske Drude-modellen. Derimot varierer den i klare stepp med verdier som kan skrives på den enkle formen Rxy = RK/ν hvor

er von Klitzings konstant. NIST, 2014 CODATA recommended values. Dens meget presise verdi er uavhengig av materialets egenskaper. Den inneholder Plancks konstant h og ν er et helt tall (1, 2, 3, . .) eller en brøk (1/3, 2/5, 3/7, . .). Dette fenomenet kalles nå for den kvantiserte Hall-effekten som fra engelsk betegnes med QHE. I det første tilfellet dreier det seg om en heltallig QHE eller IQHE, mens for rasjonelle verdier av ν har man en fraksjonell QHE eller FQHE. M. Stone, Quantum Hall Effect, World Scientific Publishing, Singapore (1992). ISBN 981-02-0884-7.

Forklaringen av denne effekten kan finnes i kvantemekanikken. Under de forholdene som eksistrerer ved disse målingene vil elektronene i halvledersjiktet bevege seg kun i to dimensjoner. Det sterke magnetfeltet vil føre til at hver av dem utfører en syklotronbevegelse rundt en sirkel med senter i planet. På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp vil hver slik bane kun inneholde et elektron hvis man ser bort fra dets spinn. Antall elektroner som kan delta i ladningstransporten er da lik med antall slike syklotronbaner. Ved bruk av Landau-kvantisering gir det en ladningstetthet som er et helt multiplum ν av eB/h. I den klassiske grensen h → 0 vil derfor heltallet ν bli stort.

Da Hall-motstanden kan skrives som hvor na er den todimensjonale tettheten av elektroner i grensen der tykkelsen a blir veldig liten, tar denne derfor verdiene Dette gir en grov forklaring av den heltallige, kvantiserte Hall-effekten IQHE. Men det overraskende er hvorfor en slik enkel beskrivelse kan gi et slikt numerisk korrekt resultat. K. von Klitzing, 25 Years of Quantum Hall Effect (QHE), Poincaré Seminar, Paris (2004).

Den fraksjonelle Hall-effekten er ikke like godt forstått. Spesielt er spørsmålet om hvilke brøker ν som kan opptre, ennå uavklart. Men den avgjørende forskjellen fra IQHE er at for FQHE spiller Coulomb-kraften mellom elektrone en avgjørende rolle.

Referanser

Kategori:Kvantemekanikk Kategori:Faststoffysikk Kategori:Elektriske og magnetiske felt i stoff