thumb|400px|Upolarisert lys blir splittet to stråler ved å gå gjennom et Nicol-prisme som består av to sammenlimte kalsittkrystaller. Krystalloptikk omhandler optikk i anisotrope materialer. Vanligvis betyr det læren om hvordan lys går gjennom og brytes i krystaller, men kan også mer generelt beskrive utbredelse av elektromagnetisk stråling i andre medier. Dette kan være flytende krystaller eller materialer som er gjort anisotrope ved pålagte, mekaniske spenninger eller elektromagnetiske felt. Slike fenomen omtales vanligvis som dobbeltbrytning.
I alminnelighet vil lys i et anisotropt medium ha en brytningsindeks som er avhengig av både dets retning og dets polarisasjon. En upolarisert lysstråle vil generelt splittes opp i to som hver er polarisert vinkelrett på hverandre. Mens det i en enakset krystall finnes en spesiell retning som ikke gir noen slik dobbeltbrytning, er det to slike spesielle retninger i en toakset krystall.
Krystalloptikk ble eksperimentelt og teoretisk utforsket i Frankrike på begynnelsen av 1800-tallet. Spesielt var det arbeidene til Augustin Fresnel som la grunnlaget for den beskrivelse av denne delen av optikken som fremdeles gjelder i dag. Dette skjedde på tross av at man på den tiden ikke hadde noen forståelse av lys som et elektromagnetisk fenomen, men bygde på forestillingen at det bestod av svingninger i en mekanisk eter.
Indeksellipsoiden
Det elektriske feltet E og er forbundet med forskyvningsfeltet D gjennom permittiviteten ε ved den lineære sammenhengen D = ε E. I isotrope materialer er denne den samme i alle retninger og har derfor kun en verdi. Men i et anisotropt materiale er vektorene E og D ikke lenger parallelle. Det tilsvarer at permittiviteten har forskjellig verdier i ulike retninger slik at hver komponent av forskyvningsfeltet er en lineærkombinasjon av de elektriske feltkomponentene,
Da både D og E er vektorfelt, må størrelsene εij utgjøre komponentene til en tensor. Denne kan representeres ved en 3×3 matrise. Bevarelse av elektromagnetisk energi uttrykt ved Poyntings vektor medfører at denne matrisen er symmetrisk i den forstand at . Det betyr at man kan finne et annet, kartesisk koordinatsystem hvor matrisen tar den diagonale formenE. Hylleraas, Matematisk og Teoretisk Fysikk, Del I, Grøndahl & Søns Forlag, Oslo (1950).
I dette spesielle koordinatsystemet har derfor permittiviteten kun tre verdier tilsvarende de tre hovedretningene til materialet. Komponentene til forskyvningsfeltet blir dermed , og .
thumb|330px|Indeksellipsoiden for en enakset krystall er rotasjons-symmetrisk om den optiske aksen. Hvert plan gjennom dens sentrum vil skjære den i en ellipse hvor den ene halvaksen vil ha konstant lengde.
Da permittiviteten i alle medier bestemmer dets brytningsindeks, er det hensiktsmessig å skrive dens komponenter i et anisotropt medium som hvor ε0 er permittiviteten i vakuum og de dimensjonsløse tallene nk kan betraktes som brytningsindeksene for et anisotropt materiale i de tre hovedretningene.A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik: Optik, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig (1959).
Den elektriske feltenergitettheten som funksjon av dette feltet blir dermed
I et kartesisk koordinatsystem med koordinater (x, y, z) proporsjonale med (Dx, Dy, Dz) vil derfor energitettheten være konstant på ellipsoiden
med halvakser nx, ny og nz. Den kalles for materialets indeksellipsoide og bestemmer dets optiske egenskaper. For noen krystaller er indeksene langs to av aksene like store. Ellipsoiden er da rotasjonssymmetrisk om den tredje aksen som sies å være krystallens optiske akse. I det generelle tilfellet hvor de tre indeksene alle er forskjellige, vil krystallen ha to optiske akser med spesielle egenskaper for lysets gang.T.E. Furtak and M.V. Klein, Optics, John Wiley & Sons, New York (1986). ISBN 0-471-87297-0.
Elektrisk felt som normalvektor
På samme måte som man fra ligningen til en ellipse kan man finne dens tangent i hvert punkt, er tangentplanet til indeksellipsoiden i et punkt gitt som
Sammenligner man dette med formelen for et generelt plan, ser man at vektoren
er en normal til ellipsoideflaten. Da koordinatene som benyttes her er proporsjonale med komponentene til forskyvningsfeltet D, betyr det at normalvektorene N er proporsjonal med det elektriske feltet E. Bortsett fra langs hovedaksene, danner de to vektorene E og D en vinkel med hverandre siden de i allminnelighet ikke er proporsjonale med hverandre i et anisotropt materiale.
Fresnel-ellipsoiden
Indeksellipsoiden fremkommer fra den elektriske energitettheten i et kartesisk koordinatsystem hvor koordinatene er proporsjonale med komponentene til forskyvningsfeltet D. Man kunne alternativt også uttrykke den samme energitettheten ved komponentene til det elektriske feltet E. Det ville gi opphav til den relaterte ellipsoiden
med halvakser 1/nx, 1/ny og 1/nz. Den spiller også en viktig rolle for utbredelse av lys i krystaller. Da den ble først benyttet av Augustin Fresnel, er hans navn knyttet til den for å unngå forveksling med indeksellipsoiden.
Plane bølger thumb|300px|Feltvektorene E og D i en plan lysbølge danner en vinkel med hverandre i et anisotropt materiale. Både D-vektoren og de magnetiske feltene B og H er vinkelrette på bølgenormalen k. Lys består av elektromagnetiske bølger. De forskjellige feltene som det inneholder, er koblet sammen gjennom de to Maxwell-ligningene
Her er de to magnetiske feltene forbundet ved B = μ H via permeabiliteten μ. For at lyset skal kunne fritt utbre seg, må det befinne seg i et dielektrisk materiale som er gjennomsiktig. Slike stoffer er umagnetiske, og man kan derfor med god nøyaktighet sette deres permeabilitet lik med den i vakuum. Det betyr at = som også kalles den «magnetiske konstanten».O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.
Det elektriske feltet i en plan bølge med bølgevektor k og vinkelfrekvens ω kan skrives som en fasevektor
hvis man betrakter det elektriske feltet i bølgen. De andre feltene tilhørende den samme bølgen kan skrives på samme form. Benytter man at en tidsderivasjon ∂/∂t nå vil tilsvare en multiplikasjon med -iω og nabla-operatoren ∇ gir en tilsvarende faktor i k, reduseres de to Maxwell-ligningene til
Med B = μ0H i den første ligningen, finner man det magnetiske feltet H uttrykt ved det elektriske feltet E. Innsatt i den andre ligningen, får man da resultatet
som kan benyttes til å bestemme de elektriske feltene for bølgen. Den er ekvivalent med den elektromagnetiske bølgeligningen i det anisotrope materialet.
Fresnel-ligningen En løsning av bølgeligningen vil gi hvordan vinkelfrekvensen ω varierer med bølgevektoren k til den plane bølgen. Dette gjøres mest direkte i det spesielle koordinatsystemet som har akser langs hovedaksene til krystallen. Komponentene til de to feltene er da forbundet med den enkle relasjonen hvor indeksen j tar de tre verdiene x, y og z. Dermed reduseres den sektorielle bølgeligningen til tre vanlige ligninger
De danner et homogent, lineært ligningssystem for det elektriske feltet. Ikke-trivielle løsninger for feltkomponentene vil da bare eksistere når determinanten til koeffisientene i ligningene er null. Det gir en ligning som kalles Fresnel-ligningen. Den kan benyttes til å finne dispersjonsrelasjonen ω = ω(k).
Denne ligningen kan utledes enklere ved å løse ut komponentene til forskyvningsfeltet fra de tre ligningene. Det gir
etter å ha innført den kvadrerte lyshastigheten c2 = 1/ε0μ0 i vakuum. Men Gauss' lov tar nå formen = 0. Det betyr at vektoren D står vinkelrett på bølgevektoren k. Dette gjelder derfor også i et anisotropt materiale, men ikke for den elektriske feltvektoren E. På denne måten har man dermed Fresnel-ligningen
Dette resultatet kan omskrives på forskjellige former. Benytter man at kx2 + ky2 + kz2 = k2, finner man den ekvivalente ligningen
Når ligningen skrives om som et polynom, fremkommer en andregradsligning for ω2. For hver verdi av bølgevektoren k, vil det derfor være to løsninger ω1 og ω2. Det at fortegnet til vinkelfrekvensen ikke spiller noen rolle, tilsvarer at for hver slik løsning vil det være en tilsvarende for - k.
Ortogonale løsninger thumb|320px|Bølgeflaten for en toakset krystall åpnes opp for å vise de to delene den består av. De rette linjene gjennom flaten viser de to optiske aksene. Hver av de to løsningene ω1(k) og ω2(k) av Fresnel-ligningen kan fremstilles som deler av en sammensatt flate i k-rommet med kartesiske koordinater kx, ky og kz. I dette rommet vil en vektor k skjære flaten i to punkt som tilsvarer de to løsningene. Denne flaten har i litteraturen ulike navn, men kan kalles «bølgevektorflaten», «bølgenormalflaten» eller ganske enkelt bølgeflaten.G.N. Ramachandran and S. Ramaseshan, Crystal Optics, Handbuch der Physik, Volume 25/1, Editor S. Flügge, Springer-Verlag (1961).
For hver slik bestemmelse av de to tillatte vinkelfrekvensene for gitt verdi av bølgatallet, kan så de elektriske feltene E1 og E2 bestemmes fra de opprinnelige ligningene. De tilsvarende forskyvningsfeltene D1 og D2 er da ortogonale som betyr at de står vinkelrett på hverandre. Det følger fra
Men hver av summene her er null på grunn av Fresnels ligning. Dermed har man at . De to løsningene representerer derfor bølger som er polariserte i plan som danner 90° med hverandre.
Vinkelfrekvensen ω bestemmer brytningsindeksen n til bølgen via fasehastigheten u = . Da løsningene ω1,2 avhenger av bølgevektoren k, vil brytningsindeksen vanligvis i et anisotropt materiale derfor være avhengig av retningen til bølgene. De to løsningene sies å være «ekstraordinære» for å skille dem fra ordinære bølger i isotrope medier hvor brytningsindeksen er den samme i alle retninger.
Geometrisk konstruksjon
De to planpolariserte løsningene av Fresnel-ligningen kan finnes ved en geometrisk konstruksjon basert på indeksellipsoiden.M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 978-0-521-64222-4. Et plan gjennom sentrum som har en flatenormal i samme retning som bølgevektoren k, er beskrevet ved ligningen k⋅x = 0. Da vil skjæringsflaten være en ellipse hvor de to halvaksene peker i de ortogonale retningene tilsvarende vektorene D1 og D2 som angir polarisjonen til bølgene . Samtidig vil lengden av halvaksene være de to tilsvarende brytningsindeksene n1 og n2.
For en generell krystall med hovedbrytningsindekser nx ≠ ny ≠ nz vil planet i to spesielle retninger føre til at snittellipsen blir en sirkel. Disse retningene definerer krystallens to «optiske akser». De to mulige bølgene langs disse spesielle retningene vil da kunne forplante seg med samme brytningsindeks. Krystallen sies i dette tilfellet å være toakset.M. Alonso and E.J. Finn, Fundamental University Physics, Volume II, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1978).
Enaksete krystaller thumb|300px|Bølgeflaten for en negativ krystall består av en ytre kuleflate for ordinære bølger. Den omslutter en ellipsoide for ekstraordinære bølger som er rotasjonssymmetrisk om den optiske aksen.
I mange krystaller er to av hovedindeksene like store. Det er da vanlig å benytte et koordinatsystem slik at disse tilsvarer x- og y-retningene. En slik krystall vil da bare ha en optisk akse som ved dette koordinatvalget tilsvarer z-aksen. I tillegg kalles nx = ny for den «ordinære» brytningsindeksen no, mens nz er den «ekstraordinære» indeksen ne. Et kvantitativt uttrykk for størrelsen til dobbeltbrytningen en slik krystall kan frembringe er gitt ved differensen
Er denne større enn null, sies krystallen å være postiv. I motsatt fall er den negativ.
Bølgeflaten for en enakset krystall fremkommer fra Fresnel-ligningen som i dette tilfellet kan faktoriseres til å gi