Innen matematikk er en embedding en funksjon som definerer en relasjon mellom en mengde X og en delmengde Y. Dersom en slik funksjon finnes, sier man at X er embeddet i Y. Embeddinger er isomorfier som bevarer visse egenskaper, avhengig av sammenhengen og hvilke matematiske strukturer X og Y representerer. Embeddinger brukes blant annet innen ordensteori, topologi, funksjonalanalyse og diskret matematikk.
I ordensteori La X og Y være totalt ordnede mengder, for hvis addisjon og multiplikasjon er definert, og la Z være en delmengde av Y. En embedding av er en isomorfi , og vi sier at X er embeddet i Y hvis og bare hvis en slik isomorfi finnes.R. W. Oberste-Vorth m.fl.: Bridge to Abstract Mathematics, side 129.
En isomorfi er her bijektiv funksjon som er slik at
og en funksjon som oppfyller dette kalles for strukturbevarende.R. W. Oberste-Vorth m.fl.: Bridge to Abstract Mathematics, side 128.
I topologi og geometri I generell topologi La X og Y være topologiske rom. Dersom det finnes en homeomorfi , der , sier vi at f er en embedding og at X er embeddet i Y.T. B. Rushing: Topological embeddings, side 1.
Her er en homeomorfi en funksjon slik at f er bijektiv f er kontinuerlig den inverse av f, f−1, er også kontinuerlig.
To embeddinger og sies å være ekvivalente dersom det finnes en homeomorfi slik at . Dette definerer en ekvivalensrelasjon.
I differensialtopologi La X og Y være glatte manifolder, av dimensjon m og n. En glatt avbildning kalles for en immersjon dersom og for ethvert punkt . f kalles for en embedding hvis den også er en homeomorfi fra X til bildet .A. Mukherjee: Differential Topology, side 19. To embeddinger er isotopiske dersom det finnes en glatt homotopi slik at for enhver er også avbildningen
en embedding.A. Mukherjee: Differential Topology, side 65.
Whitneys embeddingsteorem sier at ethvert mangfold av dimensjon n kan embeddes i som en lukket delmengde av .A. Mukherjee: Differential Topology, side 62.
I funksjonalanalyse Metriske rom er også topologiske rom, og vi sier som for topologiske rom at hvis X og Y er metriske rom, er X embeddet i Y dersom det finnes en homeomorfi f fra X til en delmengde i Y.J. Muscat: Functional Analysis, side 34.
Videre sier vi at f er en kontinuerlig embedding, og at X er kontinuerlig embeddet i Y, dersom f er kontinuerlig (begrenset), og at f er en kompakt embedding, og at X er kompakt embeddet i Y, dersom f er en kompakt.T. Roubíček: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, side 9.
Gelfand-Naimark-teoremet sier at enhver C*-algebra er embeddet i B(H), rommet av begrensede operatorer (eller kontinuerlige operatorer) fra H til H, for et Hilbert-rom H.J. Muscat: Functional Analysis, side 389.
I diskret matematikk I grafteori thumb|Den komplette grafen K5 tegnet i planet. Denne kan ikke tegnes uten å la to kanter krysse hverandre, og er derfor ikke planar. En embedding av en avbildning av en graf til et vektorrom, slik som for eksempel planet, og en graf G kan embeddes i dette vektorrommet hvis den kan tegnes slik at ingen kanter krysser hverandre (ikke har noen felles punkter utenom endepunktene, dvs. nodene).T. Nishizeki og N. Chiba: Planar graphs: theory and algorithms, side 6–7.
En planar graf er en graf som kan tegnes (embeddes) i planet uten at kantene krysser hverandre. En slik embedding gir en oppdeling i disjunkte delmengder av planet, og disse kalles for ansikter (faces). Det er alltid ett ansikt som ikke er begrenset, og dette kalles for et ytre ansikt (outer face) eller uendelig ansikt (infinite face). Det finnes generelt mange ulike embeddinger av en villkårlig planar graf, og vi sier at to embeddinger er ekvivalente (som gir en ekvivalensrelasjon) dersom randen av ett ansikt i en embedding tilsvarer nøyaktig randen av ett ansikt i den andre.
Referanser
Litteratur
Eksterne lenker
Kategori:Ordensteori Kategori:Topologi Kategori:Funksjonalanalyse Kategori:Grafteori