thumb|320px|Ved bruk av vekselvirkningsbildet kan fundamentale prosesser som betahenfall av et nøytron til et proton beskrives ved et Feynman-diagram.
Vekselvirkningsbildet blir benyttet i kvantemekanikk og kvantefeltteori ved beregninger av egenskapene til vekselvirkende partikler. Det tillater en beskrivelse av en slik komplisert situasjon som om partiklene beveger seg fritt og uten vekselvirkninger.
En kvantemekanisk system av ikke-relativistiske partikler med gjensidige koblinger er i vekselvirkningsbildet ekvivalent med å benytte tidsavhengig perturbasjonsteori. Fordelen med en beskrivelse i vekselvirkningsbildet er mye større for relativistiske partikler da den tillater å behandle de vekselvirkende kvantefelttene som om de er frie. Deres kvantisering og bevegelse er dermed kjent og kan finnes fra de tilsvarende relativistiske feltligningene. For elektroner ville det da være Dirac-ligningen.
For vekselvirkende kvantefelt kan man på denne måten etablere en mer generell perturbasjonsteori. Til hver orden av de relevante koblingene mellom partiklene som opptrer, kan man uttrykke de forskjellige bidragene med Feynman-diagram. Disse kan matematisk beregnes basert på egenskapene til de frie feltene.
Det er denne fremgangsmåten som har gjort det mulig i kvanteelektrodynamikk å komme frem til resultat som er mer nøyaktige enn i noen annen teori. Likedan er dette grunnen for at standardmodellen kan gi en teoretisk forklaring på de eksperimentelt etablerte egenskapene ved alle elementærpartikler.
Bakgrunn
Bevegelsen til et kvantemekanisk system kan finnes fra den tidsavhengige Schrödinger-ligningen som dets tilstandsvektor må oppfylle. Liigningens detaljerte form varierer fra system til system og kommer til uttrykk i dets Hamilton-operator Den inneholder systemets dynamiske variable som er operatorer og kan omtales som observable. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York (1982). ISBN 0-306-40397-8.
I den opprinnelige formuleringen til Schrödinger kunne operatorene betraktes som uavhengige av tiden. Systemets tidsutvikling er da samlet i tilstandsvektoren og man sier at det er beskrevet i «Schrödinger-bildet». Forventningsverdien
av en operator vil variere med tiden og skyldes systemets bevegelse slik det kan observeres. Hamilton-operatoren har nå ingen eksplisitt avhengighet av tiden. Schrödinger-ligningen er da ekvivalent med tidsutviklingen
som bringer tilstandsvektoren fra et tidspunkt t = 0 til en ny vektor ved tiden t > 0. Hvis man kjenner den opprinnelige tilstanden til systemet, kan man i prinsippet finne den eksakte tilstanden ved alle senere tidspunkt. Den kvantemekaniske usikkerheten opptrer først i forventingsverdiene. E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1961).
Heisenberg-bildet
Noen få måneder før Schrödinger hadde lansert sin bølgemekanikk for kvantemekaniske system, hadde Heisenberg utviklet sin matrisemekanikk for de samme systemene. Spesielt Dirac viste snart at disse to formuleringene var ekvivalente. A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.
Heisenbergs fremstilling var basert på operatorer som varierer med tiden og oppfyller bevegelsesligningen
Når Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden, resulterer denne i tidsutviklingen
av alle observable til systemet. I dette «Heisenberg-bildet» er dets tilstandsvektor konstant slik at forventningsverdien
til en operator er den samme som i Schrödinger-bildet. Begge fremstillingene eller «bildene» gir derfor samme svar, Hvilket av de to man skal benytte, avhenger vanligvis av hva slags system man betrakter og hvilke spørsmål som stilles. Men uansett hvilket bilde man benytter, vil det innebære å beregne egenverdiene og egenvektorene til Hamilton-operatoren for å kunne si noe om bevegelsen til systemet. R.L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.
Definisjon
Etter som tiden varierer kan man betrakte tilstandvektoren for systemet som en vektor som roterer i Hilbert-rommet. Dens fysiske innhold kan avleses fra komponentene i et referansesystem med basisvektorer. I Schrödinger-bildet ligger dette fast, mens i Heisenberg-bildet roterer det med tilstandsvektoren slik at den synes å være uforanderlig.
Vekselvirkningsbildet gir en beskrivelse som er mellom disse to bildene. Det kommer til nytte når den totale Hamilton-operatoren kan splittes opp som hvor den første delen kan betraktes som «fri» ved at dens egenverdier og egenvektorer er kjente,
Den resterende delen som også kan være eksplisitt avhengig av tiden, gjør en eksakt beregning av tidsutviklingen til systemet umulig. Men man kan forenkle denne ved å isolere den delen som skyldes den frie Hamilton-operatoren. Hvis tilstandsvektoren i Schrödinger-bildet er kan man definere den ekvivalente tilstandsvektoren
Ved å benytte Schrödinger-ligningen
kan nå bevegelsesligningen for denne nye tilstandsvektoren finnes. Den blir
hvor
Tidsutviklingen til den nye tilstandsvektoren er derfor gitt ved den perturbative delen av Hamilton-operatoren. Da det er denne som inneholder de kompliserte vekselvirkningene til systemet, sies det nå å være beskrevet i «vekselvirkningsbildet». Enhver annen tidsuavhengig operator som denne perturbasjonen måtte inneholde, vil på denne måten få en tilsvarende tidsutvikling
Forventningsverdien av operatoren blir
og er den samme som tidligere. Av denne grunn kan man betrakte vekselvirkningsbildet som en mellomting mellom Schrödinger-bildet og Heisenberg-bildet.
Tilstandsamplituder
Egenvektorene til den frie Hamilton-operatoren utgjør et fullstendig sett av basisvektorer i Hilbert-rommet. Tilstandsvektoren i vekselvirkningsbildet kan derfor skrives som
hvor koeffisienten er sannsynlighetsamplituden for å finne systemet i tilstand ved tiden t. Disse basisvektorene varierer ikke med tiden. Derfor gir bevegelsesligningen for tilstandsvektoren at disse amplitudene må oppfylle
etter at den er projisert inn på en basistilstand Dette er samme sett av koblete differensialligninger som opptrer i tidsavhengig perturbasjonsteori. Den ble utarbeidet av Paul Dirac i 1927 og er derfor ekvivalent med den senere bruk av vekselvirkningsbildet.
Eksempel: To-nivå system
Man kan eksakt beregne tidsutviklingen av et system med to tilstander som blir utsatt for en harmonisk perturbasjon. Den frie Hamilton-operatoren kan da skrives som mens perturbasjonen antas å ha formen
Hvis man definerer vil de to tilstandsamplitudene tilfredstille differensialligningene
Ved å derivere den siste etterfulgt med innsettelse av den første, fremkommer ligningen
av andre orden. Den vil ha løsninger av formen hvor eksponenten X derfor må være en løsning av andregradsligningen
De to løsningene kan skrives som hvor
Den generelle løsningen for amplituden vil nå være kombinasjonen
hvor de to konstantene A and B bestemmes av begynnelsestilstanden. Hvis man derfor antar at systemet befinner seg i den nedre tilstanden med energi E1 ved tiden t = 0, vil og dermed . Det betyr at den deriverte ved dette tidspunktet. På denne måten kommer man frem til løsningen
hvor Sannsynligheten for å finne systemet i den øvre tilstanden ved et senere tidspunkt er derfor
og vil oscillere med frekvensen Ω. Tilsvarende vil sannsynligheten for at systemet befinner seg i nedre tilstand, være . Disse sannsynlighetene blir større desto nærmere den påtrykte frekvensen ω tilsvarer energidifferensen Δ. I det ekstreme tilfellet svinger de mellom 0 og 1 ved resonans når . For en svak perturbasjonen med amplitude a → 0, går dette resultatet over til hva man finner i laveste orden av tidsavhengig perturbasjonsteori.
Slike svingninger i kvantemekaniske to-nivå system ble først undersøkt av Isidor Rabi og spiller en avgjørende rolle i moderne bruk av magnetisk resonans. B.H. Bransden and C.J. Joachain, Quantum Mechanics, Prentice Hall, New York (2000). ISBN 978-0-582-35691-7.
Tidsutviklingsoperator
En systematisk fremstilling av hvordan tilstandsvektoren generelt varierer med tiden i vekselvirkningsbildet kan etableres ved å definere en tidsutviklingsoperator ved sammenhengen
Den bringer tilstanden for systemet ved et tidspunkt t 0 til en ny tilstand ved et senere tidspunkt t > t 0. Herav følger at den må være unitær,
Videre må operatoren oppfylle
hvor samtidig man må ha Det betyr at den inverse operator er Den hermitisk adjungerte operator er derfor
i overensstemmelse med at den er unitær.
Dyson-serie Tidsutviklingsoperatoren kan finnes fra den fundamentale bevegelsesligning
i vekselvirkningsbildet. En integrasjon av denne gir den ekvivalente integralligningen
Den kan formelt løses iterativt ved først å benytte laveste ordens løsning på høyre side av ligningen. Så kan den resulterende, første ordens løsning igjen benyttes på høyre side og slik kan man fortsette. Det gir «Dyson-serien»
som kan benyttes i en perturbativ beregning hvis man antar at operatoren har en forholdsvis svak virkning på systemets utvikling. Serien er oppkalt etter Freeman Dyson som benyttet den i kvanteelektrodynamikk for å vise at de to tilsynelatene forskjellige formuleringene til Julian Schwinger og Richard Feynman er de samme.S.S. Schweber, QED and the Men Who Made It, Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 0-691-03327-7.
Tidsordning
Istedenfor en uendelig lang serie med stadig mer kompliserte vekselvirkninger kan tidsutviklingsoperatoren skrives på en mye mer kompakt form ved å innføre en spesiell form for «tidsordning» mellom vekselvirkningsoperatorene som opptrer i den. Dette kan illustreres ved å betrakte leddet av andre orden. Det er det dobbelte integralet
som fås ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen. I tillegg kan man her bytte om navnene til de to integrasjonsvariable t1 og t2 som gir
Ved å legge sammen disse to uttrykkene, har man dermed
etter å ha innført tidsordningsoperatoren Her virker den på to operatorer og er da definert ved at
og tilsvarende for produkt med flere faktorer. Dette gjør det mulig å omskrive den uendelige serien med ledd til
Det er på denne formen at tidsutviklingsoperatoren benyttes i kvantefeltteori til å omforme hvert ledd i Dyson-serien til Feynman-diagram som kan beregnes etter veldefinerte regler. S.S. Schweber, H.A. Bethe and F. De Hoffmann, Mesons and Fields, Volume I, Row, Peterson and Company, Evanston IL (1955).
Overgangsamplitude
Selv om tidsutviklingen av et kvantemekanisk system er deterministisk og gitt ved tidsutviklingsoperatoren, kan man likevel bare beregne en sannsynlighet for at systemet går over fra en tilstand til en annen. Hvis man antar at systemet ved tiden t 0 befinner seg i en egentilstand til den frie Hamilton-operatoren med egenverdi er
sannsynlighetsamplituden for at det skal befinne seg i en annen slik egentilstand ved et senere tidspunkt t. Det første leddet er det samme som kommer fra tidsavhengig perturbasjonsteori. Det andre leddet kan man innsette et fullstendig sett med tilstander mellom de to vekselvirkningsoperatorene. Dermed blir
hvor matriseelementene er definert ved . De forskjellige integrasjonene som opptrer her, må utføres på en kontrollert måte slike at tilstandene ved begynnelsen og slutten av overgangen er veldefinerte. M. Weissbluth, Atoms and Molecules, Academic Press, New York (1978). ISBN 0-12-744452-1.
Linjebredde Når perturbasjonen varierer harmonisk med tiden eller er konstant, kan integrasjonene i overgangsamplituden utføres. Spesiell interesse har da tidsutviklingen av den opprinnelige tilstanden. Den er gitt ved den diagonale overgangsamplituden. For en konstant perturbasjon er den gitt som
til første orden. Dette kan tolkes som at tilstanden har fått en liten korreksjon til sin energi,
Man har derfor i overensstemmelse med statisk perturbasjonsteori i første orden.
Med en slik konstant perturbasjon, kan også andre ordens bidrag til overgangsamplituden regnes ut. Det gir det mer nøyaktige resultatet for energiforskyvningen