thumb|280px|Definisjon av naturlige enheter som benyttes i elementærpartikkelfysikk. Naturlige enheter er målenheter basert på størrelser som forekommer i naturen og dermed er uavhengig av menneskeskapte definisjoner eller konvensjoner. Disse størrelsene kan være fysiske konstanter som opptrer i forskjellige naturlover eller karakteriserer andre fundamentale egenskaper i naturen.
Fordelen med en slik naturlig enhet er at den kan sies å være «dimensjonsløs» og ha verdien 1. Den matematiske formen av mange naturlover tar dermed en enklere form. For eksempel hvis man velger å måle astronomiske avstander i lysår, tilsvarer det å sette lyshastigheten . Masseenergiloven E = mc 2 vil da skrives som E = m som er noe enklere og viser samtidig at energi og masse har samme dimensjon. Denne naturlige enheten brukes derfor ofte i relativistisk fysikk slik at tid og lengde har samme dimensjon. På samme måte ville beregninger i kvantefysikk kunne forenkles hvis man brukte naturlige enheter basert på at Plancks konstant . Da energien til et foton med frekvens ν er E = hν, ville dermed denne få dimensjon som inverse sekund eller annen tidenhet.
Dagens SI-system består av måleenheter som også er baserte på verdiene til slike naturkonstanter. Men i denne sammenhengen benyttes disse til å gi verdier av de fundamentale enhetene som brukes og gjøres derfor ikke dimensjonsløse.
Historisk bakgrunn
Hvor mange og hva slags måleenheter man behøver, er ikke naturgitt. Mens SI-systemet er bygget opp rundt syv fundamentale enheter, er det tidligere CGS-systemet i utgangspunktet basert på tre slike enheter som benyttes for lengdedimensjonen L, tidsdimensjonen T og massedimensjonen M. De tilsvarende enhetene ble valgt å være cm for lengde, sekund s for tid og gram g for masse, Andre størrelser får sammensatte dimensjoner og tilsvarende enheter basert på definisjoner og fysiske lover. For eksempel fra Newtons andre lov følger at kraft har dimensjon LMT -2. Ved bruk av CGS-systemet kalles den tilsvarende enheten for dyn, mens den i SI-systemet måles i newton. A. Sommerfeld, Vorlesungen über theoretische Physik: Elektrodynamik, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1961).
At masse må betegnes som en egen dimensjon, er ikke opplagt. Fremdeles kan begrepene vekt og tyngde blandes sammen. De er begge forbundet via Newtons gravitasjonslov. Først på slutten av 1800-tallet ble det innsett å være praktisk nødvendig å innføre en egen gravitasjonskonstant G. Tidligere hadde Carl Friedrich Gauss foreslått å måle masse i enheter som tilsvarer å sette G = 1. Ut fra gravitasjonsloven vil derfor masse ha dimensjon L3T -2. Da Coulombs lov har samme matematiske form, ville dermed elektrisk ladning og masse få samme dimensjon og kunne uttrykkes med samme enhet. I dag virker dette upraktisk, men ble anbefalt av James Clerk Maxwell i 1873 i hans store og banebrytende verk A Treatise On Electricity and Magnetism. A. Wutke, From Newton to universal Planck natural units – disentangling the constants of nature, J. Phys. Commun. 7, 115001 (2023).
Omtrent på samme tid foreslo George Johnstone Stoney at basisenhetene cm, g og s for L, M og T ikke skulle defineres ut fra mer tilfeldige forhold her på Jorden, men måtte baseres på fundamentale størrelser i Naturen. Han forslo å bruke lyshastigheten c, gravitasjonskonstanten G og elementærladningen e. Denne mente han var ladningen til en fundamental partikkel som måtte finnes og som han ga navnet elektron. Verdien var på den tiden tilnærmet kjent fra Faradays lov for elektrolyse. Dette representerer det første forslaget på det som nå kalles «naturlige enheter». Nesten tredve år senere forslo Max Planck et tilsvarende sett med enheter, men da basert på hans konstant h istedenfor elektronets ladning. I årene som fulgte med etableringen av kvantemekanikk ble lignende enheter innført for atomfysikk, elementærpartikkelfysikk og mange andre sammenhenger. K.A. Tomilin, Natural Systems of Units, Proceedings 21st International Workshop on the Fundamental Problems of High-Energy Physics and Field Theory, 287-296 (1998). PDF
Relativistiske enheter
Einsteins relativitetsteori er basert på at ikke noe vanlig legeme kan bevege seg raskere enn lyshastigheten c. Det gjelder overalt og til alle tider. Derfor utgjør den en naturlig enhet for alle andre hastigheter, selv om det ville være noe upraktisk under vanlige forhold. Dette tilsvarer å sette . Alle hastigheter ville da være dimensjonsløse og ha numerisk mindre verdier.
Med et slikt valg måtte man da finne måleenheter for tid og for lengde slik at
Hvis man fortsatt ønsket å måle tid i enheter av sekund s, ville da lengdeenheten kunne kalles ett «lyssekund» med en størrelse på ganske nøyaktig . Energi ville få samme dimensjon som impuls og masse og derfor måtte uttrykkes i samme enhet. Den kan velges fritt, for eksempel i vanlige kilogram kg. Andre, fysiske størrelser ville få tilsvarende sammensatte enheter. For eksempel akselerasjon som har dimensjon LT -2, ville da kunne uttrykkes i inverse tidsenheter som s -1.
Elektromagnetiske størrelser lar seg elegant uttrykke i gaussiske enheter. Når man velger relativistiske enheter definert ved , vil denne størrelsen ikke lenger opptre i Maxwells ligninger som dermed blir enda enklere. Det samme gjelder for Heaviside-Lorentz-systemet som har noen fordeler. I SI-systemet tilsvarer dette valget av relativistiske enheter at man setter den elektriske konstanten og den magnetiske konstanten . Hvis man i tillegg har definert en enhet for energi, kan måleenheten for elektriske og magnetiske felt finnes fra det fysiske kravet at deres kvadrat har samme dimensjon som en energitetthet. E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).
Geometriske enheter
Når spesiell relativitetsteori utvides til generell relativitetsteori, vil den også beskrive gravitasjon. Dermed vil den også inneholde gravitasjonskonstanten G i tillegg til lyshastigheten c. Den matematiske beskrivelsen vil derfor forenkles hvis man benytter «geometriske enheter» definert ved i tillegg til . Da dimensjonen til G er , vil dermed masse kunne uttrykkes i samme enheter som lengde eller tid.C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.
Med verdiene til disse to fundamentale konstantene i SI-systemet, finner man at
Det betyr at en masse på 1 kg tilsvarer meter i geometriske enheter. Solen har en masse kg som kan derfor sies å være lik med 1477 m i disse enhetene. Det vanlige utttrykket for Schwarzschild-radius forenkles på denne måten til og er nesten 3000 m for et sort hull med samme masse som Solen.
Konvertering
Med de kjente verdier til c og G i SI-systemet, kan fysiske størrelser i dette systemet forandres til geometriske enheter. Det er da vanlig at disse velges å være forskjellig potenser av lengdeeenheten meter m. Da er
som i geometriske enheter betyr at
SI-enheten for akselerasjon er m/s 2. I geometriske enheter blir dette nå
og har dimensjon invers lengde. Dermed konverteres enheten for kraft til
og blir derfor dimensjonsløs.
Energi er definert som kraft multiplisert med vei og måles i enheter av i SI-systemet. Målt i geometriske enheter, vil derfor energi uttrykkes som et visst antall meter på lignende måte som masse. Mer konkret er sammenhengen
Da geometriske enheter er definerte ved c = 1, vil det bety at verdien til den elektriske konstanten
må settes lik 1 sammen med verdien til den magnetiske konstanten Coulombs lov for den elektriske kraften mellom to ladninger q1 og q2 i avstand r fra hverandre, tar da formen
Da denne kraften er dimensjonsløs i geometriske enheter, må elektrisk ladning ha dimensjon lengde og måles i meter i disse enhetene. Konvertering finnes fra verdien til som gir
Settes her ε0 = c = G = 1, fremkommer da sammenhengen
Konvertering av andre elektromagnetiske enheter kan finnes på tilsvarende vis.
Stoney-enheter
Omtrent samtidig som Maxwell i 1873 argumenterte for å innføre det som ble CGS-systemet basert på centimeter cm for lengde, gram g for masse og sekund s for tid, foreslo Stoney et mer fundamentalt målesystem. Han hadde innsett at eksperimentelle resultat fra elektrolyse av forskjellige substanser må bety at elektrisk ladning alltid opptrer som et helt antall elementærladninger e. Denne minste ladningsbæreren ga han navnet elektron. Sammen med verdiene for gravitasjonskonstanten G og lyshastigheten c kunne han dermed konstruere enheter for de basale størrelsene lengde, masse og tid som var uavhengig av de menneskeskapte enhetene centimeter, gram og sekund. Dermed hadde han skapt det første målesystemet med naturlige enheter.G. Johnstone Stoney, On the Physical Units of Nature, Proc. Roy. Dublin Soc. 3, 51–60 (1883).
Elektronets ladning er gitt ved elementærladningen
Når denne verdien kombineres med verdiene for G og c, får man sammenhengen
Det betyr at
hvor
er den fundamentale lengdeenheten når man benytter slike Stoney-enheter. Den tilsvarende tidsenheten er
Stoney-lengden ℓS kan konverteres til en tilsvarende Stoney-masse mS ved bruk av de to andre konstantene,
Det er masseenheten i disse naturlige enhetene. Den er av størrelsesorden mikrogram, men har likevel ingen klar, fysisk interpretasjon.
Planck-enheter
For å forklare egenskapene til varmestråling ble Max Planck rundt 1900 nødt til å innføre en ny naturkonstant som snart fikk hans navn. Ved bruk av SI-systemet har den verdien
og forbinder måleenheten for energi med tidsenheten. Planck innså med en gang at denne nye konstanten ville gi fundamentale enheter for både lengde, masse og tid når den kombineres med verdiene for de to andre naturkonstantene c og G.J.D. Barrow, The Constants of Nature, Jonathan Cape, London (2003). ISBN 0-224-06135-6.
Enhetene for energi og lengde er forbundet ved produktet
Forholdet ħc/G har nå dimensjon M 2 og definerer en fundamental enhet for masse. Det er Planck-massen med verdien
Den tilsvarende lengdeenheten er Planck-lengden
Dermed er Planck-tiden
tidsenheten i dette naturlige målesystemet.
Planck-enhetene er av samme størrelsesorden som de tilsvarende Stoney-enhetene. Det er bare en faktor omtrent lik 3 som skiller dem og skyldes finstrukturkonstanten α = 1/137. Man kan finne den nøyaktige sammenhengen ved for eksempel å betrakte Stoney-massen
hvor den numeriske faktoren
Fra sine studier av varmestrålingen innførte Planck og ga også navnet til Boltzmanns konstant med verdien
når temperatur måles i Kelvin-grader. Da energi nå måles i enheter av mPc 2, kan man dermed også definere en fundamental Planck-temperatur ved
Dens numeriske verdi blir
Fysisk betydning
Da Planck-enhetene inneholder både ħ og G, bør de være anvendelige for fysiske fenomen der både kvantemekanikk og gravitasjon gjør seg samtidig gjeldende. En konsistent, teoretisk beskrivelse av slik fysikk blir omtalt som kvantegravitasjon, men er ennå ikke utviklet. Ut fra størrelsen på enhetene kan man si at slike fenomen ville bli synlige hvis man kunne studere Naturen på avstander mindre enn 10-35 m eller ved energier høyere enn mP /c 2 som tilsvarer omtrent 1019 GeV. Med dagens teknologi er dette ikke mulig her på Jorden, men fenomenene kan likevel manifestere seg under de ekstreme forhold som eksisterte i Universet ved Big Bang.