thumb|300px|Lys kommer inn fra venstre mot en loddrett grenseflate til et tettere medium. Her blir en del av lyset reflektert tilbake, mens resten bryter gjennom til den andre siden.

Fresnels formler bekriver hvordan amplituden til lys eller en elektromagnetisk bølge forandres når den blir reflektert eller brytes i en plan grenseflate mellom to medier eller material. Mens Snells lov angir retningen til det reflekterte og transmitterte lyset, bestemmer Fresnels formler derfor intensitene i de to forskjellige retningene.

På begynnelsen av 1800-tallet utviklet den franske fysiker Augustin Fresnel en teori for lys som transverse bølger i en mekanisk eter. På den måten kunne han forklare lysets polarisasjon og dobbeltbrytning. Den samme, mekaniske modellen gjorde det også mulig å beregne hvordan de transverse amplitudene forandres når en slik bølge beveger seg fra et material til et annet. De resulterende formlene viste seg å forbli de samme da James Maxwell omtrent femti år senere etablerte sin elektromagnetiske teori som er uavhengig av en mekanisk eter. En lysbølge består nå av transverse svingninger av elektriske og magnetiske felt.

Når man ser bort fra mulig absorbsjon av lyset i de to mediene, er deres optiske egenskaper gitt ved deres brytningsindekser n1 og n2. Formlene til Fresnel vil derfor helt generelt involvere disse sammen med retningen til de forskjellige lysstrålene samt deres polarisasjon. I det enkleste tilfellet der lyset kommer vinkelrett inn mot grenseflaten mellom de to mediene, reduseres disse til

Den angir hvor stor del av det innfallende lyset som reflekteres tilbake. For overgangen mellom luft med og glass med , gir den . Bare fire prosent av lyset vil i dette viktige tilfellet bli reflektert. Derimot er refleksjonen nesten 100% fra metallflater, en effekt som blant annet benyttes i speil.

Refleksjon og transmisjon thumb|320px|Retninger til reflektert og transmittert lys i forhold til innfallsloddet som er gitt ved flatenormalen. Det innfallende lyset antas å være en plan bølge hvis retning er gitt ved bølgevektoren k1 i medium 1. Denne danner «innfallsvinkelen» θ1  med normalen til grenseflaten som vanligvis i denne sammenhengen omtales som «innfallsloddet». Ved speilende refleksjon blir en del av lyset reflektert tilbake i en retning k1' som igjen danner vinkelen med innfallsloddet, men på den andre siden av dette. F. A. Jenkins and H. E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill Book Company, New York (1957).

Resten av lyset fortsetter ved transmisjon inn i et nytt materiale 2 på den andre siden av grenseflaten. Denne skiller to medier med forskjellige brytningsindekser n1 og n2. Når disse er dielektriske materialer, kan de antas å være reelle størrelser. Retningen til det transmitterte lyset k2 danner vinkelen θ2  med innfallsloddet og følger fra Snells lov

Når lyset beveger seg fra et optisk tynnere inn i et optisk tettere medium, vil n2 > n1. Da vil brytningsvinklen og det innfallende lyset blir brudt mot innfallsloddet.

Både loven for refleksjon og brytning kan forklares på forskjellige måter. Begge fenomenene følger fra Huygens prinsipp om partialbølger eller Fermats prinsipp om korteste, optiske lengde for lyset. Disse to lovene har sitt utgangspunkt i at lyshastigheten c  er redusert til i et medium med brytningsindeks n. En mer fullstendig beskrivelse av lys som elektromagnetiske bølger følger fra Maxwells ligninger. De gir også en detaljert forklaring av dets refleksjon og transmisjon i grenseflaten mellom to medier. Den inneholder også resultatet for de relative amplitudene til lyset i disse to retningene og utgjør innholdet av Fresnels formler. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.

Grensebetingelser thumb|300px|Hvor mye som reflekteres og transmitteres av en mekanisk bølge som møter en vegg, er bestemt av grensebetingelsene i denne.

Det elektriske feltet til en plan bølge med vinkelfrekvens ω  varierer i tid og rom som

hvor E0 er en konstant amplitude. Den står vinkelrett på bølgevektoren k som gir bølgens utbredelsesretning. Bølgetallet k = |k| = nω/c  hvor n  er brytningsindeksen til mediet som bølgen beveger seg i. Når den møter en plan grenseflate mot et annet medium, vil den splittes opp i en reflektert og en transmittert bølge slik at det totale, elektriske feltet på hver side av denne oppfyller grensebetingelsen

Den følger direkte fra Maxwells ligninger. Her er n en enhetsvektor langs innfallsloddet som står vinkelrett på grenseflaten. Den samme bølgen inneholder også et magnetisk felt H som står vinkelrett både på k og E. Ved grensefllaten må det på samme vis oppfylle betingelsen

De tangentiale komponentene til begge feltene er derfor de samme på de to sidene av grensefllaten. J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).

Innfallsplan og polarisasjon

På den ene siden av grenseflaten er det både en innkommende og en reflektert bølge, mens på den andre siden er det bare en trransmittert bølge. Langs grenseflaten må de tilsvarende feltene oppfylle grensebetingelsene. For at det skal være mulig for alle punkt x0 på grensefleten, må man ha at

Da man alltid kan skrive x0 = n × x for et helt vilkårlig punkt x i rommet, vil derfor

og likedan for likheter med k2. Det betyr at

fordi denne sammenhengen skal være gyldig for alle x. De tre bølgevektorene ligger derfor i samme plan som kalles for innfallsplanet. Den første likheten her gir refleksjonsloven , mens den andre er Snells lov Slik fremkommer begge lovene som en direkte konsekvens av elektromagnetisk teori.

Retningen av det elektriske feltet E til en elektromagnetisk bølge benyttes vanligvis for å angi dens polarisasjon. Da det kun finnes to uavhengige retninger for denne, velges de ofte i optikken å være parallell (p) med innfallsplanet eller vinkelrett (s) på dette. Denne betegnelsen kommer opprinnelig fra tysk senkrecht som betyr loddrett. En ekvivalent betegnelse er TE da retningen til det elektriske feltet er transvers eller vinkelrett på innfallsplanet. Tilsvarende vil p-polarisasjon da kalles for TM da det magnetiske feltet i det tilfellet står vinkelrett på innfallsplanet.

Utledning

thumb|320px|Feltvektorer ved p-polarisasjon. Magnetfeltet Hr  og derfor også Er  har her motsatt retning enn den som er benyttet i teksten.

Retningen til det magnetisk feltet er forbundet med den til det elektriske feltet ved Maxwell-ligningen For en plan bølge med frekvens ω  og bølgevektor k har den som direkte konsekvens at

hvor den magnetiske permeabiliteten i de to mediene settes lik med den magnetiske konstanten μ0. Herav kan retningene til de tre vektorene E, H og k finnes ved bruk av høyrehåndsregelen.

TM: p-polarisasjon

Ved p-polarisasjon vil de elektriske feltene i de tre lysstrålene alle ligge i innfallsplanet med retninger som i utgangspunktet kan velges fritt. Det betyr at de kan være forskjellige i uiike lærebøker. F.W. Sears, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1975). Retningene til de tilsvarende magnetfeltene følger så fra dette valget og lysstrålenes bevegelsesretninger. De tangentiale komponentene til de magnetiske feltene langs grenseflaten må da oppfylle ligningene

På samme måte må den tangentiale komponenten til det totale, elektriske feltet være like stor på begge sidene av denne. Det gir ligningen

Herav kan både den reflekterte Er  og den transmitterte amplituden Et  uttrykkes ved den innfallende amplituden Ei . De relative amplitudene er da gitt ved koeffisientene

Ved å benytte den trigonometriske identiteten og Snells lov kan refleksjonskoeffisienten skrives som

Hvis denne koeffisienten blir negativ, betyr det bare at den antatte retningen av det elektriske feltet til det reflekterte lyset er feil. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.

TE: s-polarisasjon thumb|360px|Grafisk fremstilling av Fresnels formler for refleksjons- og transmisjonsamplitudene når n1 < n2.

Når de elektriske feltene står vinkelrett på innfallsplanet, er de også alle tangentiale til grenseflaten. De elektromagnetiske grensebetingelsene blir da

Herav finner man refleksjonskoeffisienten

og transmisjonskoeffisienten

Igjen kan refleksjonskoeffisienten forenkles ved bruk av en enklere, trigonometrisk identitet og Snells lov. Det gir

Når lyset beveger seg fra et optisk tynnere til et optisk tettere medium, er n1 < n2. Snells lov gir dermed at θ1 > θ2 slik at denne refleksjonskoeffisienten blir negativ. Den reflekterte bølgen får dermed en ekstra faseforskyvning på 180° for alle verdier av innfalllsvinkelen.

Kommentarer

Refleksjonskoeffisienten rs  varierer fra verdien

ved loddrett innfall til rs  = -1 for horisontalt innfall θ1 = 90° . Den er derfor alltid negativ når n1 < n2 som for eksempel for lys som går fra luft til glass eller vann.

Derimot vil refleksjonskoeffisienten rp  i denne situasjonen skifte fortegn ved den samme variasjonen av innfallsvinkelen. Den starter ut med den positive verdien

for vertikalt innfall og ender opp med rp  = -1 for tangentialt innfall for θ1 = 90° . Denne koeffisienten må derfor bli null for en mellomliggende verdi θB  av innfallsvinkelen. Dette er Brewsters vinkel hvor bare den s-polariserrte delen av lyset blir reflektert, = 0. Fra formelen for rp  skjer dette ved en innfallsvinkel som må oppfylle . Bortsett fra den trivielle løsningen = 0°, må derfor . Det betyr at Brewsters vinkel oppfyller betingelsen

slik at den reflekterte lysstrålen står vinkelrett på den transmitterte. Dette resultatet følger også direkte fra det trigonometriske uttrykket for rp  da . Snells lov gir nå eller

thumb|360px|Grafisk fremstilling av Fresnels formler for refleksjons- og transmisjonsamplitudene når n1 > n2 som kan gi totalrefleksjon.

For overgangen fra luft med til glass med blir denne vinkelen . Det reflekterte lyset er fullstendig s-polarisert ved denne innfallsvinkelen. Hvis det innkommende lyset er s-polarisert, vil brøkdelen Rp = |rp | 2 bli reflektert. For overgangen fra luft til glass blir dette omtrent 15 %. De resterende 85 % blir transmittert inn i glasset med en brytningsvinkel = 34°. For upolarisert, innkommende lys ville det transmitterte lyset i dette tilfellet også inneholde 100 % av den p-polariserte delen.

Totalrefleksjon

Når lyset går fra et medium som vann til et optisk tynnere medium som luft, er n2 < n1. Snells lov sier da at innfallsvinkelen θ1 må være mindre enn en kritisk vinkel gitt ved

da brytningsvinkelen θ2 ikke kan være større enn 90° . Ved denne kritiske vinkelen er begge refleksjonskoeffisientene

da tan (θc - 90°) = tan (θc + 90°) og sin (θc - 90°) = - sin (θc + 90°). Det betyr at ved denne og større innfallsvinkler blir alt lys reflektert uavhengig av dets polarisasjon. Dette fenomenet er derfor kjent som totalrefleksjon.

Atomistisk utledning

Fresnel beregnet disse koeffisientene ut fra sin mekaniske forståelse av lys som transverse svingninger i en elastisk eter for to hundre års siden. Denne beskrivelsen ble erstattet av Maxwells elektromagnetiske teori femti år senere. Men selve opprinnelsen av lys ble først forklart ved etableringen av moderne kvantefysikk hvor det fremkommer fra bevegelsen til elektroner i atomer. Basert på denne innsikten kunne Feynman i sine forelesninger utlede Fresnels formler ved å undersøke hvordan lys spredes fra elektronene i faste stoffer og dermed gi opphav til dets refleksjon og transmisjon. R.P. Feynman, Polarization, Lectures in Physics, Volume I, Caltech (1965). Online.