thumb|300px|Når partikkelen ikke har nok energi til å gå over potensialbarrieren, tillater kvantemekanikken at den kan tunnelere gjennom.
Tunnelering er et kvantemekanisk fenomen som medfører at partikler synes å trenge gjennom barrierer som er klassisk ugjennomtrengelige. Det skyldes at en kvantemekanisk partikkel beskrives ved en kontinuerlig bølgefunksjon som kan gi en viss sannsynlighet for å finne den i klassisk forbudte områder. Alternativt kan fenomenet forklares ved Heisenbergs uskarphetsrelasjon.
Selv om kvantetunnelering ikke kan gis én enkel, intuitiv forklaring, kan effekten beregnes på en éntydig måte. Den har mange direkte konsekvenser med praktiske anvendelser samtidig som den opptrer indirekte i mange andre sammenhenger av kvantemekanisk natur. Dens betydning ble først innsett i 1928 i forbindelse med radioaktivitet som skyldes alfahenfall. Omtrent samtidig ga den en forklaring av emisjon av elektroner fra metaller når de utsettes for tilstrekkelig sterke, elektriske felt. Akkurat denne prosessen benyttes i dag ved utviklingen av felteffekttransistorer og flashminnebrikker i moderne elektronikk.
Et sentralt spørsmål i fysikken har i lengre tid vært å finne et skille mellom den mikroskopiske verden hvor kvantemekanikken gjelder, og den makroskopiske verden hvor klassisk mekanikk gjelder. Det betyr i denne sammenhengen å undersøke hvor stor kan en partikkel være for å kunne bevege seg ved tunnelering. Nobelprisen i fysikk for 2025 ble gitt til tre eksperimentalfysikere som har vist at et makroskopisk stort antall med superledende elektroner er i stand til å tunnelere samtidig gjennom et forbudt område i en Josephson-kontakt. Akkurat dette fenomenet kan ligge til grunn for fremtidens kvantedatamaskiner.
Generell bakgrunn
En partikkel med masse m som beveger seg langs x-aksen med en hastighet v, har en kinetisk energi T = (1/2)mv 2 når man kan se bort fra relativistiske effekter. Den er derfor alltid positiv. Hvis partikkelen samtidig er påvirket av en kraft som gir den en potensiell energi V(x), vil dens hastighet generelt variere med posisjonen. Men da dens totale energi
er bevart under bevegelsen, kan den beregnes når totalenergien er kjent. Men det er bare mulig i posisjoner som oppfyller . Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, vil den kinetiske energien bli negativ, og partikkelen vil ha en imaginær hastighet. Det er ikke mulig i klassisk mekanikk. Et slikt område langs x-aksen ville i så fall utgjøre en «potensialbarriere» hvor partikkelen ikke kan befinne seg. M.W. McCall, Classical Mechanics: A Modern Introduction, John Wiley & Sons, New York (2001). ISBN 0-471-49714-2.
Potensialstepp thumb|300px|Potensialstepp langs x-aksen med høyde V0.
I det enkleste tilfelle kan man tenke seg at potensialet V er null til venstre for origo og har en konstant verdi V0 til høyre for dette. Det utgjør dermed et potensialstepp med den matematiske formen
Hvis nå en klassisk partikkel har totalenergien E, vil den derfor ha en impuls som er √(2mE) for negative x når den beveger seg mot høyre i dette området. Under forutsetning av at vil den så fortsette mot høyre når den kommer inn i potensialet. Men her er hastigheten mindre da den tilsvarerende impulsen er
Denne er blitt redusert av kraften som virker på partikkelen i punktet x = 0. Når er denne blitt så stor at partikkelen stoppes i dette punktet og blir slått tilbake slik at den beveger seg i negativ retning til venstre for origo. Ingen partikler klarer i dette tilfellet å trenge inn i potensialbarrieren.
Bølgemekanikk
For en kvantemekanisk beskrivelse av den samme bevegelsen kan man benytte Schrödinger-ligningen. I dette tilfellet tar den formen
hvor er den reduserte Planck-konstanten. Denne kan nå løses eksakt i hvert område hvor potensialet V(x) er konstant.D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.
Til venstre for origo er den komplekse bølgefunksjonen en superposisjon av to termer
Den første beskriver den innkommende partikkelen som beveger seg mot høyre med bølgetallet k. Dette er relatert til impulsen ved som har den klassiske verdien Amplituden A bestemmer intensiteten til disse partiklene. På tilsvarende måte beskriver det andre leddet partikler som beveger seg mot venstre med samme impuls i dette området. De er nå reflektert fra potensialsteppet med amplitude B og er en direkte, kvantemekanisk effekt. Den skyldes at på høyre side av steppet må det bare finnes partikler som beveger seg mot høyre. Derfor må de ha et positivt bølgetall med størrelse
som igjen følger fra Schrödinger-ligningen. Da bølgefunksjonen generelt må være glatt og kontinuerlig overalt, medfører dette kravet i punktet at det må eksistere en reflektert bølge for . På denne måten kan man nå beregne sannsynligheten for at en innkommende partikkel skal fortsette videre mot høyre eller bli reflektert tilbake mot venstre.
Inntrengning og tunnelering
For det viktige tilfellet at har Schrödinger-ligningen fremdeles en løsning i det klassisk forbudte området. Den er da på formen
hvor nå
Det eksisterer derfor en endelig sannsynlighet for å finne partikkelen til høyre for steppet, men denne avtar eksponensielt med avstanden til origo. Man sier derfor at den kan kvantemekanisk «trenge inn» i det forbudte området. Likevel kan ikke dette tas for bokstavelig da bølgefunksjonen i dette området er reel slik at den tilsvarende sannsynlighetsstrømmen er null. Så derfor kan ikke partikkelen sies å bevege seg her selv om den har en endelig sannsynlighet for å befinne seg der. P. Ball, Beyond Weird, The Bodley Head, London (2018). ISBN 978-1-847-92457-5.
thumb|360px|Skjematisk fremstilling av bølgefunksjonen til en partikkel som tunnelerer gjennom et endelig potensialstepp. Sannsynlighetsamplituden for å trenge inn er gitt ved forholdet C /A . Utregnet blir det
slik at sannsynligheten for at dette skal skje, er
Samme beregning gir også amplituden for å bli reflektert,
Brøkdelen av antall partikler som møter potensialsteppet og blir støtt tilbake, er nå gitt ved refleksjonskoeffisienten R = |B /A |2 = 1. Alle blir derfor reflektert. Ingen partikler klarer å fortsette sin ferd videre inn i det forbudte område selv om de trenger et lite stykke inn. F. Schwabl, Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin (1990). ISBN 3-540-54217-5.
Derimot kan en inntrengende partikkel komme ut som en fri partikkel på høyre side hvis potensialsteppet har en endelig lengde L. Da blir bølgefunksjonen i det forbudte området redusert med en faktor e-κL som nå er en endelig størrelse. Denne resten av bølgefunksjonen kan så fortsette som en plan bølge for en fri partikkel som beveger seg mot høyre. Brøkdelen som reflekteres vil i dette tilfellet være R < 1. De resterende partiklene sies å ha «tunnelert» gjennom den endelige potensialbarrieren.
Kvantemekanisk usikkerhet
Når partikkelen kvantemekanisk ser ut til å kunne trenge gjennom en potensialbarriere, ser det formelt ut til at den da må ha imaginær hastighet eller impuls i dette forbudte området. Det er vanskelig å skjønne hvordan dette fenomenet skal forstås. En mulig forklaring kan man finne i Heisenbergs usikkerhetsrelasjon
for bevegelse langs x-aksen. Hvis barrieren har en utstrekning av størrelsesorden L, vil derfor partikkelens impuls ha en usikkerhet i impulsen. Det følger fra sannsynligheten for å befinne seg i det forbudte området som har en endelig verdi når , det vil si for
Dermed vil det eksistere en usikkerhet i den kinetiske energien
som er stor nok til å føre partikkelen over barrieren. Desto mindre massen til partikkelen er, desto større er denne effekten. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Pergamon Press, Oxford (1964).
Tunneleringstid
Ord som inntrengning og tunnelering forbindes lett med egenskaper til en klassisk partikkel uten utstrekning. Ved bruk av slike begrep er det naturlig å spørre seg hvor lang tid det tar for en partikkel å bevege seg gjennom det forbudte området. Men den kvantemekaniske beskrivelsen gjør bruk av bølger som her gir ingen lokalisasjon av partikkelen. Derfor er det ikke overraskende at det har vist seg vanskelig å definere en slik tunneleringstid på en éntydig måte. Heller ikke eksperimentelle undersøkelser har klart å påvise en slik tid. Den kan uansett være avhengig av hvordan eksperimentet utføres. E. Hiis Hauge and J. A. Støvneng, Tunneling times: a critical review, Rev. Mod. Phys. 61 (4), 917–936 (1989). Online.
En nedre grense for en slik tunneleringstid Δt er forbundet med usikkerheten i det forbudte området gjennom Heisenbergs andre usikkerhetsrelasjon,
Uavhengig av hvordan tunneleringstiden er definert, må denne betingelsen være oppfylt.
Rektangulær potensialbarriere thumb|360px|Firkantet potensialbarriere med høyde V0 og lengde L = 2a.
Sannsynligheten for å tunnelere gjennom et forbudt område kan bare beregnes eksakt for noen få spesialtilfeller. Ett av dem er et endelig potensialstepp med høyde V0 og utstrekning slik at potensialet V(x) er null for x < -a og x > a. Med en innkommende bølge fra venstre, vil da den totale bølgefunksjonen for x < -a være
hvor bølgetallet k avhenger av energien E på samme måte som for et uendelig langt stepp. På samme måte må bølgefunksjonen i det forbudte området ha formen
når slik at også κ har samme verdi som tidligere. Til høyre for barrieren der vil det nå bare eksistere en utgående bølge hvor amplituden F vil gi sannsynligheten for at partikkelen tunnelerer gjennom barrieren.
De ukjente amplitudene B, C, D og F kan beregnes i forhold til den innkommende amplituden A ved å benytte kravet om at bølgefunksjonen overalt må være kontinuerlig og glatt, også i punktene x = ± a. Sannsynlighetsamplituden for tunnelering finnes da som
hvor igjen Dermed kan selve sannsynligheten for at dette skal skje, skrives som
Dette resultatet gir den eksakte verdien avhengig av potensialbarrierens lengde og høyde samt partikkelens energi, og har hovedsakelig mest teoretisk interesse. E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1961).
Generalisering For de fleste praktiske anvendelser er denne sannsynligheten et lite tall P << 1 som skyldes at argumentet i nevneren κL >> 1. Da forenkles resultatet til
hvor den eksponensielle faktoren er den dominerende og bestemmer størrelsen til tunneleringssannsynligheten. Derimot er prefaktoren uavhengig av lengden L og involverer kun sannsynlighetene for å trenge inn i barrieren og kom ut av denne igjen. Denne avhenger bare av partikkelenergien E og potensialhøyden V0 . Man kan derfor benytte approksimasjonen
som gir god nok nøyaktighet i de fleste tilfeller der P << 1.
Denne kompakte formelen tillater nå en generalisering til en vilkårlig potensialbarriere V(x) i intervallet - a < x < a. Man kan nå delle dette opp i et stort antall mindre, rektangulære barrierer med samme bredde Δx og variable høyder . Sannsynligheten for å trenge gjennom en slik smal barriere er nå . Den totale sannsynlighet for å trenge gjennom hele barrieren blir dermed
i grensen der Δx → 0. Dette er i overensstemmelse med den mer systematiske utledningen basert på WKB-approksimasjonen. Det er også på denne formen at tunneleringssannsynlighten blir vanligvis beregnet for vilkårlige potensialbarrierer.
Triangulær potensialbarriere
thumb|300px|Tunnelering gjennom en triangulær barriere.
En typisk anvendelse av WKB-approksimasjonen til sannsynligheten for kvantetunnelering, er når denne skjer gjennom en lineært avtagende potensialbarriere
Resultatet er da avhengig av integralet gjennom det forbudte området som strekker seg fra hvor partikkelen trenger inn i dette ved til den slipper ut igjen ved x1. Da blir
hvor A = 2m(a - E ) og B = 2mb slik at man har x1 = A /B. Ved her å innføre den nye variable , forenkles integralet til
Sannsynligheten for å trenge gjennom denne triangulære barrieren blir dermed
og viser hvordan den varierer med partikkelens energi E i eksponenten.