thumb|210px|Carl Gustav Jakob Jacobi,1843. Jacobis elliptiske funksjoner er elliptiske funksjoner som ble utarbeidet av Carl Gustav Jacobi rundt 1828. Det skjedde omtrent samtidig med at Niels Henrik Abel etablerte sine lignende funksjoner. De er dobbeltperiodiske som tilsvarer at de tar verdier på en torus. Trigonometriske funksjoner har derimot bare én periode da de er definerte på en sirkel. For praktisk bruk er det funksjonene til Jacobi som har vist seg mest anvendelig.
Fra et matematisk synspunkt er den elliptiske funksjonen som senere ble etablert av Karl Weierstrass, av større betydning ved at den er basert på å være en kompleks funksjon. Det er også Jacobis funksjoner som kan utledes fra den ene funksjonen til Weierstrass for spesielle verdier av de to periodene.
Alle disse funksjonene er basert på elliptiske integral som inneholder kvadratrøtter av polynom av tredje eller fjerde grad. Nullpunktee til disse kan bestemmes ved vanlige, algebraiske metoder. Abel hadde vist i 1824 at femtegradsligningen derimot ikke lar seg generelt løse på denne måten. Da hyperelliptiske integral inneholder slike polynom, prøvde både Abel og Jacobi å utvikle de tilsvarende funksjonene. Abel døde før han kunne si seg ferdig med det, men utviklet i denne forbindelse sitt generelle addisjonsteorem. Basert på denne revulosjonerende oppdagelsen, kunne Jacobi finne disse hyperelliptiske funksjonene noen få år senere. Dette var et gjennombrudd for algebraisk geometri og åpnet veien for de enda mer abstrakte Abelske funksjonene.
Grunnleggende definisjon På samme måte som Abels elliptiske funksjoner er basert på inversjon av Legendres første, elliptiske integral, tok også Jacobi sitt utgangspunkt i dette. Det kan skrives som
hvor parameteren 0 < k < 1 kalles dets modulus. For k = 0 er det trivielt, mens for kan det uttrykkes ved en hyperbolsk funksjon. Da verdien øker jevnt med φ, kan man etablere en invers funksjon som relaterer φ til u. Denne funksjonen kalte Jacobi for amplituden til u og skrev
Den vil også avhenge av modulus k slik at φ = φ(u,k). De to første funksjonere til Jacobi er nå definerte som
Jacobi ga dem de latinske navnene sinus amplitudinis og cosinus amplitudinis som fremdeles brukes. De er nå relatert ved den enkle sammenhengen
med de trivielle verdiene sn(0,k) = 0 og cn(0,k) =1. Når modulus k blir liten, nærmer de seg mer og mer de trigonometriske funksjonene sinu og cosu. Fra definisjonene følger at sn(u,k) skifter fortegn med u, mens cn(u,k) er en like funksjon av dette argumentet. A. Cayley, An Elementary Treatise on Elliptic Functions, Bell and Sons, London (1876). Internet archive.
Deriverte funksjoner
Fra integralet som definerer amplitudefunksjonen, følger direkte ved derivasjon at
hvor den tredje, grunnleggende funksjonen til Jacobi er
Denne delta amplitudinis er også en like funksjon med den enkle verdien dn(0,k) = 1. Den inngår nå ved derivasjon av de to andre funksjonene,
På tilsvarende vis finner man
Addisjonsformler
Addisjon av elliptiske integral ble først studert av Fagnano på begynnelsen av 1700-tallet. Hans resultat dannet grunnlaget for Eulers mer systematiske undersøkelser av slike integral noen tiår senere.M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2, Oxford University Press, New York (1972). ISBN 0-19-506136-5. De kan nå tas direkte over og gir for Jacobis elliptiske funksjoner at
Her har alle funksjonene samme modulus k. I grensen der denne blir svært liten, går disse formelene over til de tilsvarende, trigonometriske identiteter for sin(u + v) og cos(u + v), mens dn-funksjonen nærmer seg 1 som ventet ut fra definisjonen. M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York (1965).
Halve argument
Når man setter u = v, finnes funksjonsverdiene for det dobbelte argument. Omvendt kan resultatet uttrykke funksjonsverdiene for det halv argument,
Tilsvarende resultat for dn(u) utledes fra definisjonen som inneholder sn(u). Det gir
hvor k' er den den komplimentære modulus definert ved
Alternativt kan man benytte cn(2u) sammen med dn(2u) til å finne en formel for dn(u) som ikke inneholder noen modulus,
som da har en annen nevner enn de to andre. Resultatene for alle tre funksjonene kan skrives på flere andre måter. W.P. Reinhardt and P.L. Walker, Jacobian Elliptic Functions, NIST (2026).
Jacobi-transformasjoner
Jacobi presenterte i sitt store verk Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum fra 1829 også mange transformasjoner av de to argumentene i de elliptiske funksjonene. C.G.C. Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg (1929). Google Book og engelsk oversettelse. Disse gjør det mulig å relatere dem til verdier av modulus k som ligger utenfor den opprinnelige begrensningen 0 < k < 1 samt også tillate komplekse verdier av argumentet u. Mange av disse tar utgangspunkt i den alternative formen
til det elliptiske integralet ved å benytte integrasjonsvaribel Dermed er nå forbindelsen til amplituden φ.
For den spesielle verdien k = 0 går de elliptiske funksjonene funksjonene over til å bli trigonometriske. For den andre grenseverdien kan de på lignende vis uttrykkes ved hyperbolske funksjoner. Da forenkles det definerende integralet til
Det gir x = tanh u som betyr at
slik at cn(u,1) = dn(u,1) = 1/cosh u.
Reell transformasjon Når k > 1, kan man benytte samme uttykk ved å innføre en ny integrajosnsvariabel Det gir direkte
og dermed også
Denne transformasjonen kan benyttes for eksempel til å beskrive en pendel. Små utslag tilsvarer k < 1, mens når den har så mye energi at den svinger helt rundt, er bevegelsen beskrevet ved en elliptisk funksjon med k > 1. Rotasjonsperioden blir da mindre avhengig av den ytre gravitasjonskraften og blir i stedet for svært store verdier av k bestemt av hastigheten pendelen ble gitt helt i begynnelsen. D. Kleppner and R. Kolenkow, An Introduction to Mechanics, Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-0-521-19811-0.
Imaginær transformasjon
Ved en lignende omskrivning av det elliptiske integralet viste Jacobi i Fundamenta nova at elliptiske funksjoner kan defineres slik at de også gjelder for komplekse verdier av argumentet. Med utgangspunkt i en rent imaginær verdi for amplitiden φ, må man benytte en ny integrasjonsvariabel i det elliptiske integralet som også er av samme natur. Det gjorde han ved å sette Da blir slik at differensialet Dermed blir
hvor nå den komplementære modulus k' opptrer. Integralet over ψ tar på denne måten samme form som i den opprinnelige definisjonen. Når det har en verdi u , vil det få en øvre grensen Det betyr at Dermed har man resultatet
som igjen medfører at
Ved bruk av addisjonsformlene kan nå disse funksjonene beregnes for et generelt, komplekst argument w = u + iv. Av akkurat denne grunn har de fått så stor betydning i den rene matematikk.
Imaginær modulus
Ved å kombinere en reell med en imaginær Jacobi-transformasjon kan man danne elliptiske funksjoner med imaginær modulus Den komplementære modulusen vil da være > 1. Det søkte resultatet kan nå finnes ved først å la argumentet til funksjonen som gjennomgår den imaginære transformasjonen, slik at
Funksjonene på høyre side kan nå få den inverse modulus ved en reell transformasjon. Den gir
da cn-funksjonen i nevneren går over til en dn-funksjon på tilsvarende vis. Det imaginære argumentet kan så transformeres borrt igjen i teller og nevner. Resultatet kan dermed skrives som
hvor det skalerte argumentet er u1 = uk' og ny modulus
De to andre funksjonene transformeres på lignende vis til
Dette kan benyttes til å uttrykke de lemniskatiske funksjonene som i utgangspunktet har modulus , ved Jacobis funksjoner med reell modulus.
Perioder
Når amplituden φ i det elliptiske integralet har verdien φ = π /2, tar det den spesielle verdien
Den kalles vanligvis for det ffullstendige, første integralet. Alternativt kan det skrives som
De to første, elliptiske funksjonen tar derfor verdiene sn(K,k) = 1 og cn(K,k) = 0 for dette argumentet, mens
Med utgangspunkt i disse tre verdiene kan man nå finne verdiene til de tre samme funksjonene for argument u = K/2 ved å bruke halveringsformelene.
Ved å benytte at
Nå er sin(φ + π ) = - sinφ hvor φ = am u slik at de tilsvarende funksjonene forandres til
Dette viser at funksjonen delta amplitudinis er periodisk med en reell period 2K. De to andre funksjonene derimot skifter fortegn under en slik forandring av argumentet. De vil derfor gi den opprinnelige verdien hvis argumentet får enda et tillegg 2K . Dermed har sn og cn begge samme, reelle periode 4K. Av denne grunn kalles også K for en kvartperiode.
Under transformasjonen u → u + K kan de resulterende funksjonene finnes fra bruk av addisjonsformlene. De gir
Funksjonen sn har nå sine nullpunkt sn(u,k) = 0 for alle argument u = mK der m er et like tall. Når dette er et oddetall, vil det angi et nullpunkt til cn(u,k). Derimot har funksjonen dn(u,k) ingen reellle nullpunkt.
Imaginære perioder
Elliptiske funksjoner har i tillegg til sine reelle perioder basert på kvartperioden også imaginære perioder som involverer den komplementære kvartperioden Det følger fra Jacobis imaginære transformasjon av argumentet til funksjonene. Ved å la i uttrykket for sn(iu,k), tar det formen
Da denne sammenhengen nå antas å gjelde for alle verdier av argumentet u, kan dette forandres til Dermed er
fordi funksjoner med modulus k' har reell halvperiode 2K' . Her betyr det at sn(u,k) har en imaginær periode som er lik 2iK' . På tilsvarende vis har både cn(u,k) og dn(u,k) imaginære perioder som er lik med 4iK' .
De to periodene for hver av de tre elliptiske funksjonene til Jacobi kan nå sammenfattes på følgende vis
Deres egenskaper kan derfor angis innenfor et fudamentalt rektangel med sidekanter 2K og 2K' i det komplekse planet. De samme egenskapene vil da følge fra denne periodisiteten til alle andre verdier av argumentet.
Nullpunkt og poler
Funksjonen sn(u,k) har et reelt nullpunkt (zero) for argument u = 0. Det betyr at funksjonen cn(u,k) har et tilsvarende nullpunkt for . Derimot har funksjonen dn(u,k) ingen reelle nullpunkt. Hvis man derfor prøver med den imaginære verdien kombinert med en imaginær transformasjon, finner man
da cn(K' ,k' ) = cn(K,k) = 0. Derfor er ikke et nullpunkt for funksjonen dn, men derimot en pol. Av samme grunn er pol for funksjonene sn(u,k) og cn(u,k) da de også inneholder cn(K' ,k' ) i nevneren for dette imaginære argumentet.
Resultatet at dn-funksjonen blir uendelig stor for , betyr at den har et nullpunkt for Det følger fra formelen for De to andre funksjonene tar endelige verdier i dette punktet, nemlig og Sammen oppfyller de i overensstemmelse med den opprinnelige definisjonen. J. Pierpont, Functions of a Complex Variable, Ginn and Company, Boston (1954).
Drmed er sn = 0 for u = 0, cn = 0 for u = K, mens for Alle tre funksjoner har poler i det samme punktet Andre nullpunkt og poler finnes herav ved bruk av periodisitet som tilsvarer at de forskyves med 2mK + 2m' iK' der m og m' er positive og negative heltall.
Moderne notasjon thumb|300px|Fundamentalt rektangel i det komplekse u-planet.
De tre elliptiske funksjonone til Jacobi beholdt sine latinske navn langt inn på 1800-tallet. Så sent som i 1867 ble de grundig presentert med disse navnene i en bok utgitt av Ole Jacob Broch i Oslo. O.J. Broch, Traité élémentaire des fonctions elliptiques, P.T. Malling, Christiania (1867). Google Book.
Men omtrent på samme tid ble det lansert en ny og mer kompakt notasjon som fremdeles blir benyttet. Funksjonen sinus amplitudinis fikk navnet sn, cosinus amplitudinis ble hetende cn, mens delta amplitudinis skulle benevnes som dn.