Na matemática, especialmente no campo da teoria das categorias, o conceito de objeto injetivo é uma generalização do conceito de módulo injetivo. Este conceito é importante na coomologia, na teoria da homotopia e na teoria de categorias de modelos. A noção dual é a de um objeto projetivo.
Definição thumb|Um objeto é injetivo se, dado um monomorfismo : → , qualquer : → puder ser estendido para .
Um objeto numa categoria é dito injetivo se para todo monomorfismo e todo morfismo existe um morfismo estendendo para , isto é, tal que .
Ou seja, todo morfismo fatora através de todo monomorfismo .
O morfismo na definição acima não necessita ser determinado de forma única por e .
Numa categoria localmente pequena, é equivalente exigir que o funtor Hom leve monomorfismos em a mapeamentos de conjuntos sobrejetivos.
Em categorias abelianas A noção de injetividade foi formulada pela primeira vez para categorias abelianas, e esta continua sendo uma de suas principais áreas de aplicação. Quando é uma categoria abeliana, um objeto Q de é injetivo se e somente se o seu funtor Hom HomC(–,Q) for exato.
Se for uma sequência exata em tal que Q seja injetivo, então a sequência cinde.
Injetivos suficientes e fechos injetivos Diz-se que a categoria tem injetivos suficientes se, para todo objeto X de , existir um monomorfismo de X para um objeto injetivo.
Um monomorfismo g em é chamado de monomorfismo essencial se, para qualquer morfismo f, a composição fg for um monomorfismo apenas se f for um monomorfismo.
Se g for um monomorfismo essencial com domínio X e contradomínio injetivo G, então G é chamado de fecho injetivo (ou invólucro injetivo) de X. O fecho injetivo é então determinado de forma única por X a menos de um isomorfismo não canônico.
Exemplos Na categoria de grupos abelianos e homomorfismos de grupos, Ab, um objeto injetivo é necessariamente um grupo divisível. Assumindo o axioma da escolha, as noções são equivalentes. Na categoria de módulos (à esquerda) e homomorfismos de módulos, R-Mod, um objeto injetivo é um módulo injetivo. R-Mod possui fechos injetivos (como consequência, R-Mod tem injetivos suficientes). Na categoria de espaços métricos, Met, um objeto injetivo é um espaço métrico injetivo, e o fecho injetivo de um espaço métrico é o seu tight span (envelope hiperconvexo). Na categoria de espaços T0 e mapeamentos contínuos, um objeto injetivo é sempre uma topologia de Scott num reticulado contínuo, e portanto é sempre sóbrio e localmente compacto.
Usos
Se uma categoria abeliana tiver injetivos suficientes, podemos formar resoluções injetivas, isto é, para um dado objeto X podemos formar uma sequência exata longa
e pode-se então definir os funtores derivados de um dado funtor F aplicando F a esta sequência e calculando a homologia da sequência resultante (não necessariamente exata). Esta abordagem é utilizada para definir os funtores Ext e Tor, bem como as várias teorias de coomologia na teoria dos grupos, na topologia algébrica e na geometria algébrica. As categorias utilizadas são tipicamente categorias de funtores ou categorias de feixes de módulos OX sobre algum espaço anelado (X, OX) ou, de forma mais geral, qualquer categoria de Grothendieck.
Generalização thumb|Um objeto é -injetivo se, dado : → em , qualquer : → fatora através de .
Seja uma categoria e seja uma classe de morfismos de .
Diz-se que um objeto de é -injetivo se para todo morfismo e todo morfismo em existir um morfismo com .
Se for a classe dos monomorfismos, retornamos aos objetos injetivos que foram tratados acima.
Diz-se que a categoria tem -injetivos suficientes se para todo objeto X de , existir um -morfismo de X para um objeto -injetivo.
Um -morfismo g em é chamado de -essencial se para qualquer morfismo f, a composição fg estiver em apenas se f estiver em .
Se g for um morfismo -essencial com domínio X e um contradomínio -injetivo G, então G é chamado de fecho -injetivo de X.
Exemplos de objetos -injetivos
Na categoria de conjuntos simpliciais, os objetos injetivos em relação à classe de extensões anódinas são os complexos de Kan. Na categoria de conjuntos parcialmente ordenados e mapeamentos monótonos, os reticulados completos formam os objetos injetivos para a classe de imersões de ordem, e o completamento de Dedekind-MacNeille de um conjunto parcialmente ordenado é o seu fecho -injetivo.
Ver também Objeto projetivo
Bibliografia Jiri Adamek, Horst Herrlich, George Strecker. Abstract and concrete categories: The joy of cats, Chapter 9, Injective Objects and Essential Embeddings, Republicado em Reprints and Applications of Categories, No. 17 (2006) pp. 1-507, Wiley (1990). J. Rosicky, Injectivity and accessible categories F. Cagliari e S. Montovani, T0-reflection and injective hulls of fibre spaces
Categoria:Teoria das categorias