Categoria:Teoria da Medida

Em matemática, especificamente em teoria da medida, o Teorema -, Teorema Pi-Lambda, ou Lema de Dynkin, é um resultado que estabelece uma relação entre sistemas , sistemas e -álgebras. Ele é usado no estudo de medidas produto, em particular para demonstrar o Teorema de Fubini.

Enunciado Seja um conjunto qualquer e o conjunto das partes de . Para um dado a -álgebra gerada por , denotada por , é a interseção de todas as -álgebras tais que . Consequentemente, qualquer tal possui como subconjunto. De forma similar, o sistema gerado por , denotado por , é a interseção de todos os sistemas tais que . é sempre uma -álgebra, e é sempre um sistema . Como toda -àlgebra é também um sistema , temos que , para qualquer .

O Teorema - é a afirmação que sempre que é um sistema . Em particular, se é um sistema tal que então .

Demonstração Como é sempre o caso que , basta mostrar que . Como , isso será verdade caso seja uma -álgebra. Já sabemos que é um sistema .

Usaremos o fato que um sistema que é também um sistema é uma -álgebra. Para ver isso, suponha que é sistema e sistema . Disso já sabemos que

. implica .

Agora para temos . Portanto dados , com , podemos definir como . Temos que , mas é além disso pares-disjunto, ou seja, temos sempre. Como é sistema , temos . Consequentemente,

, para todo , implica .

Portanto basta mostrar que é um sistema . Ou seja, que para todo temos . Será útil usar a seguinte definição: Para todo ,

Então ser um sistema é equivalente a , para todo . Note que a expressão será necessariamente verdade sempre que for um sistema que possui como subconjunto. Mostraremos que isso é sempre o caso.

Se então é um sistema pois

. Ou seja, . Se então . Consequentemente , uma vez que é sistema . Ou seja, implica . Se , para todo , e sempre, então , uma vez que é sistema . Ou seja, pares-disjunto implica

Agora se temos que para todo , . Em outras palavras, . Portanto já podemos afirmar que quando . Mas isso é o mesmo que dizer que para e temos sempre . O que é o mesmo que dizer sempre que . O que então implica , para todo , como buscávamos mostrar. Isso conclui a demonstração.

Referências