miniatura|Função Z no plano complexo, plotada com uma variante da coloração de domínio.

miniatura| Função Z no plano complexo, com menos zoom.

Na matemática, a função Z é uma função usada para estudar a função zeta de Riemann ao longo da linha crítica onde o argumento é meio. Ela também é chamada de função Z de Riemann-Siegel, função zeta de Riemann-Siegel, função de Hardy, função Z de Hardy e função zeta de Hardy. Ela pode ser definida em termos da função teta de Riemann-Siegel e da função zeta de Riemann por

Segue da equação funcional da função zeta de Riemann que a função Z é real para valores reais de t. É uma função par e analítica real para valores reais. Segue do fato de que a função teta de Riemann-Siegel e a função zeta de Riemann são ambas holomorfas na faixa crítica, onde a parte imaginária de t está entre −1/2 e 1/2, que a função Z também é holomorfa na faixa crítica. Além disso, os zeros reais de Z(t) são precisamente os zeros da função zeta ao longo da linha crítica, e os zeros complexos na faixa crítica da função Z correspondem aos zeros fora da linha crítica da função zeta de Riemann em sua faixa crítica.

A fórmula de Riemann-Siegel

O cálculo do valor de Z(t) para t real, e portanto da função zeta ao longo da linha crítica, é grandemente agilizado pela fórmula de Riemann-Siegel. Esta fórmula nos diz

onde o termo de erro R(t) tem uma expressão assintótica complexa em termos da função

e suas derivadas. Se , e então

onde as reticências indicam que podemos continuar para termos de ordem superior e cada vez mais complexos.

Outras séries eficientes para Z(t) são conhecidas, em particular várias usando a função gama incompleta. Se

então um exemplo especialmente elegante é

Comportamento da função Z

Do teorema da linha crítica, segue-se que a densidade dos zeros reais da função Z é

para alguma constante c > 5/12. Assim, o número de zeros em um intervalo de um dado tamanho aumenta lentamente. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, todos os zeros na faixa crítica são zeros reais, e a constante c é um. Também postula-se que todos esses zeros são zeros simples.

Um teorema Ômega

Por causa dos zeros da função Z, ela exibe um comportamento oscilatório. Ela também cresce lentamente tanto em média quanto em seu valor de pico. Por exemplo, temos, mesmo sem a hipótese de Riemann, o teorema Ômega de que

onde a notação significa que dividido pela função dentro do Ω não tende a zero com o aumento de t.

Crescimento médio

O crescimento médio da função Z também tem sido muito estudado. Podemos encontrar a média quadrática (abreviada como RMS, do inglês root mean square) a partir de

ou

o que nos diz que o tamanho RMS de Z(t) cresce como .

Esta estimativa pode ser melhorada para

Se aumentarmos o expoente, obtemos um valor médio que depende mais dos valores de pico de Z. Para quartas potências, temos

do qual podemos concluir que a raiz quarta da média da quarta potência cresce como

A hipótese de Lindelöf

Potências pares mais altas foram muito estudadas, mas sabe-se menos sobre o valor médio correspondente. Conjectura-se, e segue da hipótese de Riemann, que

para todo ε positivo. Aqui a notação "o" pequeno significa que o lado esquerdo dividido pelo lado direito de fato converge para zero; em outras palavras, o "o" pequeno é a negação de Ω. Esta conjectura é chamada de hipótese de Lindelöf, e é mais fraca que a hipótese de Riemann. Ela é normalmente declarada em uma forma equivalente importante, que é

em qualquer uma das formas, isso nos diz que a taxa de crescimento dos valores de pico não pode ser muito alta. O melhor limite conhecido para esta taxa de crescimento não é forte, dizendo-nos que qualquer é adequado. Seria surpreendente descobrir que a função Z crescesse tão rápido quanto isso. Littlewood provou que, sob a hipótese de Riemann,

e isso parece muito mais provável.

Ligações externas

Wolfram Research – Função Z de Riemann-Siegel (inclui plotagem e avaliação de funções)

Categoria:Funções zeta e L