Na matemática, a cohomologia cristalina é uma teoria de cohomologia de Weil para esquemas sobre um corpo base . Seus valores são módulos sobre o anel de vetores de Witt sobre . Foi introduzida por Alexander Grothendieck (1966, 1968) e desenvolvida por Pierre Berthelot (1974).
A cohomologia cristalina é parcialmente inspirada pela prova p-ádica de Dwork (1960) de parte das conjecturas de Weil e está intimamente relacionada à versão algébrica da cohomologia de Rham que foi introduzida por Grothendieck (1963). Grosso modo, a cohomologia cristalina de uma variedade algébrica em característica é a cohomologia de de Rham de um levantamento liso (smooth lift) de para a característica 0, enquanto a cohomologia de de Rham de é a cohomologia cristalina reduzida módulo (após levar em conta os funtores Tor superiores).
A ideia da cohomologia cristalina, em termos gerais, é substituir os conjuntos abertos de Zariski de um esquema por espessamentos infinitesimais (infinitesimal thickenings) de conjuntos abertos de Zariski com estruturas de potências divididas. A motivação para isso é que ela pode então ser calculada tomando um levantamento local de um esquema da característica para a característica 0 e empregando uma versão apropriada da cohomologia de de Rham algébrica.
A cohomologia cristalina só funciona bem para esquemas próprios e lisos. A cohomologia rígida a estende para esquemas mais gerais.
Aplicações
Para esquemas em característica , a teoria da cohomologia cristalina pode lidar com questões sobre a -torção em grupos de cohomologia melhor do que a cohomologia étale -ádica. Isso a torna um cenário natural para grande parte do trabalho com funções -ádicas.
A cohomologia cristalina, do ponto de vista da teoria dos números, preenche uma lacuna na cohomologia -ádica, que ocorre exatamente onde existem "primos de mesma característica" (equal characteristic primes). Tradicionalmente o domínio da teoria da ramificação, a cohomologia cristalina converte essa situação na teoria do módulo de Dieudonné, dando um controle importante sobre problemas aritméticos. Conjecturas com amplo escopo sobre como transformar isso em afirmações formais foram enunciadas por Jean-Marc Fontaine, cuja resolução é chamada de teoria de Hodge -ádica.
Coeficientes Para uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado de característica , os grupos de cohomologia -ádica para sendo qualquer número primo diferente de fornecem grupos de cohomologia satisfatórios de , com coeficientes no anel dos inteiros -ádicos. Não é possível, em geral, encontrar grupos de cohomologia semelhantes com coeficientes em (ou , ou , ou ) que tenham propriedades razoáveis.
A razão clássica (devida a Serre) é que se é uma curva elíptica supersingular, então seu anel de endomorfismos é uma ordem máxima em uma álgebra de quatérnios sobre ramificada em e . Se tivesse um grupo de cohomologia sobre da dimensão esperada 2, então (a álgebra oposta de) atuaria nesse espaço bidimensional sobre , o que é impossível já que é ramificada em .Um ponto bastante sutil é que se for uma curva elíptica supersingular sobre o corpo de elementos, então sua coomologia cristalina é um módulo livre de posto 2 sobre . O argumento dado não se aplica neste caso, porque alguns dos endomorfismos de tal curva são definidos apenas sobre .
A teoria da cohomologia cristalina de Grothendieck contorna essa obstrução porque produz módulos sobre o anel de vetores de Witt do corpo base. Assim, se o corpo base for um fecho algébrico de Fp, seus valores são módulos sobre o completamento -ádico da extensão não ramificada máxima de , um anel muito maior contendo raízes -ésimas da unidade para todo não divisível por , em vez de sobre .
Motivação Uma ideia para definir uma teoria de cohomologia de Weil de uma variedade sobre um corpo de característica é "levantá-la" para uma variedade sobre o anel de vetores de Witt de (o que devolve na redução módulo p), e então tomar a cohomologia de de Rham deste levantamento. O problema é que não é de forma alguma óbvio que esta cohomologia seja independente da escolha do levantamento.
A ideia da cohomologia cristalina em característica 0 é encontrar uma definição direta de uma teoria de cohomologia como a cohomologia de feixes constantes em um sítio adequado sobre , chamado de sítio infinitesimal, e então mostrar que é a mesma que a cohomologia de de Rham de qualquer levantamento.
O sítio é uma categoria cujos objetos podem ser pensados como alguma espécie de generalização dos conjuntos abertos convencionais de . Na característica 0, seus objetos são espessamentos infinitesimais de subconjuntos abertos de Zariski de . Isso significa que é o subesquema fechado de um esquema definido por um feixe de ideais nilpotente em ; por exemplo, .
Grothendieck mostrou que para esquemas lisos sobre , a cohomologia do feixe em é a mesma que a cohomologia de de Rham usual (lisa ou algébrica).
cohomologia cristalina Na característica , o análogo mais óbvio do sítio cristalino definido acima na característica 0 não funciona. O motivo, grosso modo, é que, para provar a exatidão do complexo de de Rham, é necessário algum tipo de lema de Poincaré, cuja prova, por sua vez, usa integração, e a integração requer várias potências divididas, que existem na característica 0, mas nem sempre na característica . Grothendieck resolveu esse problema definindo objetos do sítio cristalino de como sendo, basicamente, espessamentos infinitesimais de subconjuntos abertos de Zariski de , juntamente com uma estrutura de potências divididas que fornece as potências divididas necessárias.
Trabalharemos sobre o anel de vetores de Witt de comprimento sobre um corpo perfeito de característica . Por exemplo, poderia ser o corpo finito de ordem , e seria então o anel . (De forma mais geral, pode-se trabalhar sobre um esquema base que possui um feixe fixo de ideais com uma estrutura de potências divididas.) Se é um esquema sobre , então o sítio cristalino de relativo a , denotado por , tem como objetos pares consistindo de uma imersão fechada de um subconjunto aberto de Zariski de em algum esquema- definido por um feixe de ideais , em conjunto com uma estrutura de potências divididas sobre compatível com aquela em .
A cohomologia cristalina de um esquema sobre é definida como o limite inverso
onde
é a cohomologia do sítio cristalino de com valores no feixe de anéis .
Um ponto-chave da teoria é que a cohomologia cristalina de um esquema liso sobre muitas vezes pode ser calculada em termos da cohomologia de de Rham algébrica de um levantamento próprio e liso de para um esquema sobre . Existe um isomorfismo canônico
da cohomologia cristalina de com a cohomologia de de Rham de sobre o esquema formal de (um limite inverso da hipercohomologia dos complexos de formas diferenciais). Reciprocamente, a cohomologia de de Rham de pode ser recuperada como a redução módulo de sua cohomologia cristalina (após levar em conta os funtores Tor superiores).
Cristais
Se é um esquema sobre , então o feixe é definido como o anel de coordenadas de , onde escrevemos como uma abreviação para um objeto de .
Um cristal no sítio é um feixe de módulos que é rígido no seguinte sentido: para qualquer mapa entre objetos , de , o mapa natural de para é um isomorfismo. Isso é semelhante à definição de um feixe quase coerente de módulos na topologia de Zariski.
Um exemplo de cristal é o feixe .
O termo cristal anexado à teoria, explicado na carta de Grothendieck a Tate (1966), foi uma metáfora inspirada por certas propriedades de equações diferenciais algébricas. Estas desempenharam um papel em teorias de cohomologia -ádica (precursoras da teoria cristalina, introduzidas de várias formas por Dwork, Monsky, Washnitzer, Lubkin e Katz) particularmente no trabalho de Dwork. Tais equações diferenciais podem ser formuladas com bastante facilidade por meio das conexões de Koszul algébricas, mas na teoria -ádica o análogo da continuação analítica é mais misterioso (visto que os discos -ádicos tendem a ser disjuntos em vez de se sobreporem). Por decreto, um cristal teria a 'rigidez' e a 'propagação' notáveis no caso da continuação analítica de funções analíticas complexas. (Cf. também os espaços analíticos rígidos introduzidos por John Tate, na década de 1960, quando estas questões estavam sendo ativamente debatidas).
Ver também cohomologia motívica cohomologia de Rham
Referências
Leitura adicional
Categoria:Geometria algébrica Categoria:Teorias de coomologia Categoria:Álgebra homológica Categoria:Teorias de cohomologia