Em matemática, o envelope de Karoubi (ou completamento de Cauchy ou completamento de idempotentes) de uma categoria C é uma classificação dos idempotentes de C, por meio de uma categoria auxiliar. Tomar o envelope de Karoubi de uma categoria pré-aditiva resulta em uma categoria pseudoabeliana, portanto, para categorias aditivas, a construção é às vezes chamada de completamento pseudoabeliano. É nomeado em homenagem ao matemático francês Max Karoubi.
Dada uma categoria C, um idempotente de C é um endomorfismo
com
.
Diz-se que um idempotente e: A → A se fatora (ou cinde, do inglês splits) se existe um objeto B e morfismos f: A → B, g: B → A tais que e = g f e 1B = f g.
O envelope de Karoubi de C, às vezes escrito como Split(C), é a categoria cujos objetos são pares da forma (A, e) onde A é um objeto de C e é um idempotente de C, e cujos morfismos são as triplas
onde é um morfismo de C que satisfaz (ou equivalentemente ).
A composição em Split(C) é como em C, mas o morfismo identidade em em Split(C) é , em vez da identidade em .
A categoria C mergulha de forma plena e fiel em Split(C). Em Split(C), todo idempotente se fatora, e Split(C) é a categoria universal com essa propriedade. O envelope de Karoubi de uma categoria C pode, portanto, ser considerado como o "completamento" de C que fatora idempotentes.
O envelope de Karoubi de uma categoria C pode ser definido equivalentemente como a subcategoria plena de (os pré-feixes sobre C) dos retratos de funtores representáveis. A categoria de pré-feixes em C é equivalente à categoria de pré-feixes em Split(C).
Automorfismos no envelope de Karoubi
Um automorfismo em Split(C) é da forma , com inverso satisfazendo:
Se a primeira equação for relaxada para ter apenas , então f é um automorfismo parcial (com inverso g). Uma involução (parcial) em Split(C) é um automorfismo parcial autoinverso.
Exemplos
Se C possui produtos, então, dado um isomorfismo , o mapeamento , composto com o mapa canônico de simetria , é uma involução parcial. Se C é uma categoria triangulada, o envelope de Karoubi Split(C) pode ser dotado de uma estrutura de categoria triangulada de tal forma que o funtor canônico C → Split(C) se torna um funtor triangulado. O envelope de Karoubi é usado na construção de diversas categorias de motivos. A construção do envelope de Karoubi leva semi-adjunções a adjunções. Por esta razão, o envelope de Karoubi é usado no estudo de modelos do cálculo lambda não tipado. O envelope de Karoubi de um modelo lambda extensional (um monoide, considerado como uma categoria) é cartesiano fechado. A categoria de módulos projetivos sobre qualquer anel é o envelope de Karoubi de sua subcategoria plena de módulos livres. A categoria de fibrados vetoriais sobre qualquer espaço paracompacto é o envelope de Karoubi de sua subcategoria plena de fibrados triviais. Este é, na verdade, um caso especial do exemplo anterior pelo teorema de Serre–Swan.
Referências
Categoria:Teoria das categorias