Na matemática, em especial, no estudo dos sistemas dinâmicos e das equações diferenciais, a equação de Liénard é um tipo de equação diferencial ordinária de segunda ordem nomeada em homenagem ao físico francês Alfred-Marie Liénard.
Durante o desenvolvimento das tecnologias do rádio e do tubo de vácuo, as equações de Liénard foram estudadas intensamente para modelar circuitos oscilantes. Sob determinadas suposições, o teorema de Liénard garante a existência e a unicidade de uma ciclo limite para tal sistema.
Definição Seja e funções contínuas e diferenciáveis em com como uma função par e uma função ímpar e para todo . Assim, a equação diferencial ordinária de segunda da formaé chamada de equação de Liénard.
Sistema de Liénard A equação pode ser transformada em um sistema equivalente de equações diferenciais ordinárias em duas dimensões. Definimos:
. Então,
é chamado de sistema de Liénard.
De maneira alternativa, como a equação de Liénard é, por si só, um sistema autônomo, podemos substituir , o que a torna na equação diferencial ordinária de primeira ordem:
que é equação de Abel.
Exemplo O oscilador de Van der Pol
é uma equação de Liénard. A solução para o oscilador apresenta um ciclo limite, mas a equação de Van der Pol, de forma geral, não apresenta uma solução analítica exata.
Teorema de Liénard Um sistema de Liénard tem um único ciclo limite ao redor da origem que satisfaz as seguintes propriedades:
g(x) > 0 para todo x > 0;
F(x) possui exatamente uma raiz positiva em um determinado valor p, em que F(x) < 0 para 0 < x < p e F(x) > 0 e monótona para x > p.
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