thumb|upright=1.35|Base da trigonometria: se dois triângulos retângulos têm ângulos agudos iguais, eles são semelhantes, então os comprimentos dos seus lados correspondentes são proporcionais. Na matemática, as funções trigonométricas (também chamadas de funções circulares, funções angulares ou funções goniométricas) são funções reais que relacionam um ângulo de um triângulo retângulo a razões de dois comprimentos laterais. Elas são amplamente utilizadas em todas as ciências relacionadas à geometria, como navegação, mecânica dos sólidos, mecânica celeste, geodésia e muitas outras. Elas estão entre as funções periódicas mais simples e, como tal, também são amplamente utilizadas para estudar fenômenos periódicos por meio da análise de Fourier.
As funções trigonométricas mais amplamente usadas na matemática moderna são as funções de seno, de cosseno e de tangente. Suas recíprocas são respectivamente as funções de cossecante, de secante, e de cotangente, que são menos usadas. Cada uma dessas seis funções trigonométricas tem uma função inversa correspondente, e tem um análogo entre as funções hiperbólicas.
As definições mais antigas de funções trigonométricas, relacionadas a triângulos retângulos, as definem apenas para ângulos agudos. Para estender as funções de seno e de cosseno para funções cujo domínio é toda a reta real, definições geométricas usando o círculo unitário padrão (ou seja, um círculo com raio de 1 unidade) são frequentemente usadas; então o domínio das outras funções é a reta real com alguns pontos isolados removidos. Definições modernas expressam funções trigonométricas como séries infinitas ou como soluções de equações diferenciais. Isso permite estender o domínio das funções de seno e de cosseno para todo o plano complexo, e o domínio das outras funções trigonométricas para o plano complexo com alguns pontos isolados removidos.
Notação Convencionalmente, uma abreviação do nome de cada função trigonométrica é usada como seu símbolo em fórmulas. Hoje, as versões mais comuns dessas abreviações são "" para seno, "" para cosseno, "" ou "" para tangente, "" para secante, "" ou "" para cossecante e "" ou "" para cotangente. Historicamente, essas abreviações foram usadas pela primeira vez em frases em prosa para indicar segmentos de linha específicos ou seus comprimentos relacionados a um arco de um círculo arbitrário e, mais tarde, para indicar proporções de comprimentos, mas à medida que o conceito de função se desenvolveu nos séculos XVII e XVIII, elas começaram a ser consideradas como funções de medidas de ângulos com valores numéricos reais e escritas com notação funcional, por exemplo, . Parênteses ainda são frequentemente omitidos para reduzir a desordem, mas às vezes são necessários; por exemplo, a expressão normalmente seria interpretada como então parênteses são necessários para expressar .
Um inteiro positivo aparecendo como um sobrescrito após o símbolo da função denota exponenciação, não composição de função. Por exemplo, e denotam , não . Isso difere da notação funcional geral (historicamente posterior) em que .
Em contraste, o sobrescrito é comumente usado para denotar a função inversa, não a recíproca. Por exemplo, e denotam a função trigonométrica inversa escrita alternativamente . A equação implica não . Neste caso, o sobrescrito pode ser considerado como denotando uma função iterada ou composta, mas sobrescritos negativos diferentes de não são de uso comum.
Definições de triângulo retângulo thumb|Neste triângulo retângulo, denotando a medida do ângulo BAC como A: ; ; thumb|Gráfico (em inglês) das seis funções trigonométricas, o círculo unitário e uma reta para o ângulo . Os pontos rotulados , , representam o comprimento do segmento de reta da origem até aquele ponto. , , e são as alturas da reta começando do eixo , enquanto , , e são comprimentos ao longo do eixo começando da origem Se o ângulo agudo for dado, então quaisquer triângulos retângulos que tenham um ângulo de são semelhantes entre si. Isso significa que a razão de quaisquer dois comprimentos laterais depende apenas de . Assim, essas seis razões definem seis funções de , que são as funções trigonométricas. Nas definições a seguir, a hipotenusa é o comprimento do lado oposto ao ângulo reto, oposto representa o lado oposto ao ângulo dado, e adjacente representa o lado entre o ângulo e o ângulo reto. seno cossecante cosseno secante tangente cotangente Vários mnemônicos podem ser usados para lembrar essas definições.
Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é um ângulo reto, ou seja, ou . Portanto, e representam a mesma razão e, portanto, são iguais. Essa identidade e relações análogas entre as outras funções trigonométricas são resumidas na tabela a seguir. thumb|Topo: Função trigonométrica para ângulos selecionados , , , e nos quatro quadrantes.Embaixo: Gráfico de seno versus ângulo. Ângulos a partir do painel superior são identificados + Resumo das relações entre funções trigonométricas Função Descrição Relação usando radianos usando graus seno cosseno tangente cotangente secante cossecante
Radianos versus graus Nas aplicações geométricas, o argumento de uma função trigonométrica é geralmente a medida de um ângulo. Para esse propósito, qualquer unidade angular é conveniente. Uma unidade comum é graus, em que um ângulo reto é 90° e uma volta completa é 360° (particularmente na matemática elementar).
No entanto, no cálculo e na análise matemática, as funções trigonométricas são geralmente consideradas mais abstratamente como funções de números reais ou complexos, em vez de ângulos. De fato, as funções e podem ser definidas para todos os números complexos em termos da função exponencial, via séries de potências, ou como soluções para equações diferenciais dados valores iniciais particulares (veja abaixo), sem referência a quaisquer noções geométricas. As outras quatro funções trigonométricas (, , , ) podem ser definidas como quocientes e recíprocas de e , exceto onde zero ocorre no denominador. Pode ser provado, para argumentos reais, que essas definições coincidem com definições geométricas elementares se o argumento for considerado um ângulo em radianos. Além disso, essas definições resultam em expressões simples para as derivadas e integrais indefinidas para as funções trigonométricas. Assim, nos cenários além da geometria elementar, radianos são considerados a unidade matematicamente natural para descrever medidas de ângulos.
Quando radianos (rad) são empregados, o ângulo é dado como o comprimento do arco do círculo unitário subtendido por ele: o ângulo que subtende um arco de comprimento 1 no círculo unitário é 1 rad (≈ 57,3°), e uma volta completa (360°) é um ângulo de 2 (≈ 6,28) rad. Como radiano é adimensional, ou seja, 1 rad = 1, o símbolo de grau também pode ser considerado um fator de constante matemática, tal que 1° = /180 ≈ 0,0175.
Definições de círculo unitário right|thumb|upright=1.35|Todas as funções trigonométricas do ângulo (teta) podem ser construídas geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em O thumb|Função de seno no círculo unitário (acima) e seu gráfico (abaixo) thumb|upright=1.2|Nesta ilustração, as seis funções trigonométricas de um ângulo arbitrário são representadas como coordenadas cartesianas de pontos relacionados ao círculo unitário. As ordenadas do eixo de , e são , e , respectivamente, enquanto as abscissas do eixo de , e são , and , respectivamente. thumb|Sinais de funções trigonométricas em cada quadrante. Mnemônicos como "todos os alunos fazem cálculo" (a partir do inglês, "all students take calculus") indicam quando seno, cosseno e tangente são positivos dos quadrantes I a IV. As seis funções trigonométricas podem ser definidas como valores de coordenadas de pontos no plano euclidiano que estão relacionados ao círculo unitário, que é o círculo de raio um centrado na origem deste sistema de coordenadas. Enquanto as definições de triângulo retângulo permitem a definição das funções trigonométricas para ângulos entre e radianos , as definições do círculo unitário permitem que o domínio das funções trigonométricas seja estendido a todos os números reais positivos e negativos.
Seja o raio obtido pela rotação de um ângulo da metade positiva do eixo (rotação anti-horária para , e rotação horária para ). Este raio intercepta o círculo unitário no ponto . O raio , estendido para uma reta se necessário, intercepta a reta da equação no ponto , e a reta da equação no ponto . A reta tangente ao círculo unitário no ponto , é perpendicular a , e intercepta os eixos e nos pontos e . As coordenadas desses pontos fornecem os valores de todas as funções trigonométricas para qualquer valor real arbitrário de da seguinte maneira.
As funções trigonométricas de e são definidas, respectivamente, como os valores das coordenadas x e y do ponto . Ou seja, e . No intervalo , esta definição coincide com a definição do triângulo retângulo, tomando o triângulo retângulo como tendo o raio unitário como hipotenusa. E como a equação vale para todos os pontos no círculo unitário, esta definição de cosseno e seno também satisfaz a identidade pitagórica.
As outras funções trigonométricas podem ser encontradas ao longo do círculo unitário como e , e . Ao aplicar os métodos de identidade pitagórica e de prova geométrica, essas definições podem ser facilmente demonstradas como coincidentes com as definições de tangente, cotangente, secante e cossecante em termos de seno e cosseno, ou seja: . right|thumb|upright=1.35|link=|Funções trigonométricas: , , , , ,
– [ animação] Como uma rotação de um ângulo de não altera a posição ou o tamanho de uma forma, os pontos , , , , e são os mesmos para dois ângulos cuja diferença é um múltiplo inteiro de . Assim, as funções trigonométricas são funções periódicas com período . Ou seja, as igualdades e valem para qualquer ângulo e qualquer inteiro . O mesmo é verdade para as outras quatro funções trigonométricas. Observando o sinal e a monotonicidade das funções de seno, cosseno, cossecante e secante nos quatro quadrantes, pode-se mostrar que é o menor valor para o qual elas são periódicas (ou seja, é o período fundamental dessas funções). No entanto, após uma rotação de um ângulo , os pontos e já retornam à sua posição original, de modo que a função de tangente e a função de cotangente têm um período fundamental de . Isto é, as igualdades e valem para qualquer ângulo e qualquer inteiro .
Valores algébricos right|thumb|O círculo unitário, com alguns pontos rotulados com seus cossenos e senos (nesta ordem), e os ângulos correspondentes em radianos e graus.
As expressões algébricas para os ângulos mais importantes são as seguintes: (ângulo zero/nulo)
(ângulo reto) Escrever os numeradores como raízes quadradas de inteiros não negativos consecutivos, com um denominador de 2, fornece uma maneira fácil de lembrar os valores.
Essas expressões simples geralmente não existem para outros ângulos que são múltiplos racionais de um ângulo reto. Para um ângulo que, medido em graus, é um múltiplo de três, os valores trigonométricos exatos do seno e do cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas. Esses valores do seno e do cosseno podem, portanto, ser construídos por régua e compasso. Para um ângulo de um número inteiro de graus, o seno e o cosseno podem ser expressos em termos de raízes quadradas e da raiz cúbica de um número complexo que não é real. A teoria de Galois permite uma prova de que, se o ângulo não for um múltiplo de 3°, raízes cúbicas que não são reais são inevitáveis. Para um ângulo que, expresso em graus, é um número racional, o seno e o cosseno são números algébricos, que podem ser expressos em termos de raízes -ésimas. Isso resulta do fato de que os grupos de Galois dos polinômios ciclotômicos são cíclicos.