O é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possiveis.
Enunciado Seja uma série de números positivos com e uma função com as seguintes propriedades: ; é decrescente; .
Então converge se e somente se converge. Geralmente
Demonstração Como é decrescente e , podemos enquadrar os termos da seguinte forma: , se integrando no intervalo, temos:
Somando até :
Agora basta observar que implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.
O melhor enunciado O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries. Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia! É frequente encontrarmos enunciados que exigem, para além da positividade e da monotonia decrescente, que a função seja contínua, talvez a pensar numa condição de integrabilidade, mas as funções monótonas num intervalo limitado e fechado são limitadas nesse intervalo e portanto são integráveis, pelo que a continuidade não é, de todo, necessária. As demonstrações mais conhecidas, como a que se encontra acima, não fazem qualquer referência à condição de integrabilidade (nós podemos dar estas demonstrações abreviadas aos alunos, mas não podemos deixar de os sensibilizar para o facto de elas não estarem completas). Pode mostrar-se que a positividade também não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre limite - se a função é decrescente e o limite é nulo então ela é necessariamente positiva e se o limite não é nulo, falham as condições necessárias de convergência duma série e de um integral impróprio. Também a exigência da função ter que ser decrescente não é necessária, pois são da mesma natureza as séries e os integrais com f ou com -f. Em breve copiarei para aqui a demonstração completa de Jaime Campos Ferreira. Jmegsalazar 23h57min de 9 de fevereiro de 2021 (UTC)
Exemplo Considera a Série de Dirichlet com expoente :
e considere a função:
é sabido que:
Portanto, tal série converge.
Categoria:Testes de convergência