thumb|300px|Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.

A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

onde e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...), k! é o fatorial de k, λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5. Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo).

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

Propriedades Média O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmenteSayan Mukherjee. Lecture 6.5.- Poisson processes. In: PROBABILITY AND STATISTICS IN ENGINEERING. http://www.isds.duke.edu/courses/Fall06/sta113/poisson.pdf:

Em linguagem matemática Em Português Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam. No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :. Portanto, este valor foi substituído na fórmula. Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever Como Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. Tomamos a substituição acima e tiramos a constante para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à . Nova transformação para facilitar os cálculos... Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para Obtemos Como queríamos demonstrar

Variância (, ou ) A variância de uma distribuição de Poisson é igual a , como podemos demonstrar.

Sabendo que e

Calculamos o segundo momento , para uma variável aleatória discreta:

Expandindo o somatório

Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

Colocando e em evidência

fazendo e

Série de Taylor Função Exponencial converge para

Expandindo o somatório

Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais

Colocando em evidência

fazendo

Série de Taylor Função Exponencial converge para

Substituindo e em

Soma de variáveis A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se segue uma distribuição de Poisson com parâmetro e as variáveis aleatórias são estatisticamente independentes, então também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos . Por exemplo, é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média .

Exemplos A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos: Chamadas telefônicas por unidade de tempo; Defeitos por unidade de área; Acidentes por unidade de tempo; Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo; Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área; Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.

Ver também

Limite de Chernoff

Ligações externas Calculadora - Distribuição de Poisson

Referências

Poisson Categoria:Distribuições de probabilidade