thumb|Pontos no sistema de coordenadas polares com o polo O e o eixo L. Em verde, o ponto com coordenada radial 3 e coordenada angular 60 graus ou (3, 60º). Em azul, o ponto (4,210°) Em matemática, as coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional em que cada ponto no plano é determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto fixo de referência.
O ponto de referência (análogo a origem no sistema cartesiano) é chamado de polo, e a semirreta do polo na direção de referência é o eixo polar. A distância a partir do polo é chamada coordenada radial ou raio, e o ângulo é chamado coordenada angular, ângulo polar ou azimute.
História
Os conceitos de ângulo e raio já eram usados pelas pessoas do primeiro milênio a.C.. O astrólogo e astrônomo grego Hiparco (190 – 120 a.C.) criou uma tabela de funções de corda dando o tamanho da corda para cada ângulo, e existem referências para eles usando coordenadas polares no estabelecimento de posições estelares. Em Sobre as Espirais, Arquimedes descreve a Espiral de Arquimedes, uma função cujo raio depende do ângulo. A matemática grega, no entanto, não se estendeu a um sistema de coordenadas completo.
A partir do , os astrônomos desenvolveram métodos para aproximar e calcular a direção para Meca (quibla) - e sua distância - de qualquer lugar na Terra. A partir do passaram a utilizar métodos de trigonometria esférica e projeções cartográficas para determinar estas quantidades com maior precisão. O cálculo é essencialmente a conversão das coordenadas polares equatoriais de Meca (i.e. sua latitude e longitude) para suas coordenadas polares (i.e. sua quibla e distância) relativa a um sistema cujo meridiano de referência é o círculo máximo através da localização dada e os polos da Terra e cujo eixo polar é a linha entre a localização e o ponto antipodal. Os cálculos eram tão acurados quanto possível sob as condições limitadas impostas pela suposição de que a Terra era uma esfera perfeita.</ref>
Existem diversas referências à introdução das coordenadas polares como parte de um sistema de coordenadas formal. A história completa é descrita em Origin of Polar Coordinates (em tradução livre, Origem das Coordenadas Polares), do professor Julian Lowell Coolidge, da Universidade Harvard. Grégoire de Saint-Vincent e Bonaventura Cavalieri introduziram independentemente os conceitos em meados do século XVII. Saint-Vincent escreveu sobre eles em 1625 e publicou seu trabalho em 1647, enquanto Cavalieri publicou o seu trabalho em 1635 com uma versão corrigida sendo lançada em 1653. Cavalieri primeiramente usou coordenadas polares para resolver um problema relacionado a área dentro da espiral de Arquimedes. Blaise Pascal subsequentemente usou coordenadas polares para calcular o comprimento de arcos parabólicos.
Em Método das Fluxões (escrito em 1671, mas publicado em 1736), Sir Isaac Newton examinou as transformações entre as coordenadas polares, as quais chamou de "Sétima Maneira para Espirais", e outros nove sistemas de coordenadas. No jornal Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli usou um sistema com um ponto e uma reta, chamado de polo e eixo polar, respectivamente. As coordenadas eram especificadas pela distância do polo e o ângulo a partir do eixo polar. O trabalho de Bernoulli estendeu-se a achar o raio de curvatura de curvas expressas nessas coordenadas.
O termo coordenadas polares atual tem sido atribuído a Gregorio Fontana e foi usado pelos escritores italianos do século XVIII. O termo apareceu em inglês na tradução de 1816 de George Peacock do livro Cálculo Diferencial e Integral de Lacroix. Alexis Clairaut foi o primeiro a pensar em coordenadas polares em três dimensões, e Leonhard Euler foi o primeiro a realmente desenvolvê-las.
Convenções thumb|A polar grid with several angles labeled in degrees A coordenada radial é frequentemente denotada por ou (rho) e a coordenada angular por (phi), (theta) ou . A coordenada é especificada como pelo padrão ISO 31-11.
Ângulos em notação polar são geralmente expressos tanto em graus quanto em radianos ( sendo igual a ). Graus são tradicionalmente usados em navegação, agrimensura e muitas outras disciplinas aplicadas, enquanto radianos são mais comuns em matemática e física matemática.
Em muitos contextos, uma coordenada positiva angular significa que o ângulo é medido no sentido anti-horário do eixo.
Na literatura matemática, o eixo polar é frequentemente desenhado horizontalmente e apontando para a direita.
Unicidade das coordenadas polares Adicionando qualquer número de voltas completas () à coordenada angular não muda a direção correspondente. Também, uma coordenada radial negativa é melhor interpretada como a distância positiva correspondente medida na direção oposta. Assim sendo, um mesmo ponto pode ser expresso por um número infinito de coordenas polares diferentes (,) ou (,), onde é um inteiro qualquer. Além disso, o próprio polo pode ser expresso como para qualquer ângulo .
Onde uma representação única é necessária para algum ponto, é usual limitar a números não negativos e ao intervalo ou (em radianos, ou ). Pode-se escolher um azimute único para o polo, e.g., .
Conversão entre coordenadas polares e cartesianas thumb|Um diagrama ilustrando a relação entre as coordenadas polares e cartesianas thumb|Uma curva no plano cartesiano pode ser mapeada em coordenadas polares. Nesta animação, é mapeada em
As coordenadas polares e podem ser convertidas para as coordenadas cartesianas e usando as funções trigonométricas seno e cosseno:As coordenadas cartesianas e podem ser convertidas para as coordenadas polares e com e por: (como no Teorema de Pitágoras ou na norma euclidiana), eonde é uma variação comum da função arco tangente definida comoO valor acima de é o valor principal da função número complexo arg aplicada a . Um ângulo no intervalo pode ser obtido adicionando ao valor caso seja negativo.
Equação polar de uma curva A equação uma curva algébrica expressa em coordenadas polares é conhecida como uma equação polar. Em muitos casos, tal equação pode simplesmente ser especificada ao definir como uma função de . A curva resultante consiste portanto de pondos da forma e pode ser considerada como o gráfico da função polar . Note que, em contrapartida as coordenadas cartesians, a variável independente é o segundo número no par ordenado.
Diferentes formas de simetria podem ser deduzidas da equação da função polar . Se , a curva será simétrica em torno do raio horizontal (0º/180º), se será simétrica em torno do raio vertical (90º/270º) e se será rotacionalmente simétrica em no sentido horário ou no sentido anti-horário em torno do polo.
Por conta da natureza circular do sistema de coordenadas polares, muitas curvas podem ser descritas por uma equação polar simples, enquanto que suas formas cartesianas são muito mais intrincadas. Dentre as mais conhecidas dessas curvas estão a rosa polar, a espiral de Arquimedes, a lemniscata, o limaçon e a cardioide.
Para o círculo, a linha e a rosa polar abaixo, é entendido que não existem restrições no domínio e intervalo da curva.
thumb|Um círculo de equação Círculo A equação geral para um círculo com centro em e raio é:Isto pode ser simplificado de diversas maneiras, para se adequar a casos mais específicos, tais como a equaçãopara um círculo com centro no polo e raio .
Quando , ou quando a origem se encontra no círculo, a equação se torna.No caso geral, a equação pode ser resolvida pra dado,a solução com um sinal de menos antes da raiz quadrada dá a mesma curva.
thumb|Uma rosa polar de equação Rosa polar Uma rosa polar é uma famosa curva matemática que parece como uma flor petalada e que pode ser expressa com uma simples equação polar,para qualquer constante (incluindo o 0). Se é um inteiro, esta equação produzirá uma rosa k-petalada se for ímpar, ou uma rosa 2k-petalada se for par. Se é racional, mas não inteiro, uma forma semelhante a uma rosa pode ser formada, porém com pétalas sobrepostas. Note que esta equação nunca define uma rosa com 2, 6, 10, 14, ... (). A variável representa o tamanho das pétalas da rosa.
Linha Linhas radiais (aquelas passando pelo polo) são representadas pela equação,onde é o ângulo de elevação da linha; isto é, onde é o declive da linha no sistema de coordenadas cartesiano. A linha não radial que cruza a linha radial que cruza a linha radial perpendicularmente no ponto tem a equação .Caso contrário, é o ponto em que a tangente intercepta o círculo imaginário de raio .
thumb|Espiral de Arquimedes de equação , para thumb|Elipse exibindo o semi-latus rectum
Espiral de Arquimedes A espiral de Arquimedes é uma famosa espiral que foi descoberta por Arquimedes, que pode também ser expressada com uma simples equação polar. É representada pela equação:Mudar o parâmetro irá virar a espiral, enquanto controla a distância entre os braços, que para uma espiral dada é sempre constante. A espiral de Arquimedes tem dois braços, um para e um para . Os dois braços são conectados suavemente no polo (ver espiral de Fermat). Tomar uma imagem espelhada de um braço através da linha 90º/270º produzirá o outro braço. Essa curva é notável como uma das primeiras curvas, depois das seções cônicas, a serem descritas em um tratado matemático, e como sendo um exemplo primal de uma curva que é mais bem descrita por uma equação polar do que por outros meios.
Seções cônicas Uma seção cônica com um foco no polo e o outro em algum outro lugar na linha radial de 0º (de modo que o semieixo maior da cônica repouse no eixo polar) é dada por:onde é a excentricidade e é o semi-lactus rectum (a distância perpendicular em um foco do semieixo maior até a curva). Se , esta equação define uma hipérbole; se , define uma parábola; e se , define uma elipse. O caso especial resulta em um círculo de raio . Interseção de duas curvas polares Os gráficos de duas funções polares e têm interseções em 3 casos: Na origem das equações e há ao menos uma solução para cada. Todos os pontos onde é uma das soluções da equação . Todos os pontos onde é uma das soluções da equação onde é um inteiro.
Números complexos thumb|Uma ilustração de um número complexo plotada no plano complexo
Todo número complexo pode ser representado como um ponto no plano complexo e, portanto, pode ser expressado especificando as coordenadas cartesianas do ponto (chamado de forma retangular ou cartesiana) ou as coordenadas polares do ponto (denominada forma polar). O número complexo pode ser representado de forma retangular comoonde é a unidade imaginária, ou pode ser alternativamente escrito na forma polar (através da fórmula de conversão dada acima) comoe a partir daí comoonde é o número de Euler, que é equivalente como mostrado pela fórmula de Euler. Note que esta fórmula, como todas as outras envolvendo exponenciais de ângulos, assume que o ângulo é expresso em radianos. Para converter entre a forma retangular e forma polar de um número complexo, a fórmula de conversão dada na seção Conversão entre coordenadas polares e cartesianas pode ser usada.
Para as operações de multiplicação, divisão e exponenciação de números complexos, é geralmente muito simples trabalhar com números complexos expressos na forma polar em vez da forma retangular. Para as regras de exponenciação:
Multiplicação:
Divisão:
Exponenciação (Fórmula de De Moivre):
Cálculo Cálculo pode ser aplicado em equações expressas em coordenadas polares.
A coordenada angular é expresso em radianos ao longo dessa seção, que é uma escolha convencional quando se faz cálculo.
Cálculo diferencial