thumb|320px|Trajetórias aproximadas de três corpos idênticos localizados nos vértices de um triângulo escaleno e com velocidades iniciais nulas. Vê-se que o centro de massa, de acordo com a lei da conservação do momento, permanece no lugar Na física e na mecânica clássica, o problema de três corpos é o problema de tomar as posições e velocidades iniciais (ou momento) de três massas pontuais e resolver seu movimento subsequente de acordo com as leis do movimento de Newton e a lei da gravitação universal de Isaac Newton. O problema de três corpos é um caso especial do Problema de -corpos. Ao contrário do problema de dois corpos, não existe uma solução geral de forma fechada, pois o sistema dinâmico resultante é caótico para a maioria das condições iniciais, e métodos numéricos são geralmente necessários.
Historicamente, o primeiro problema específico de três corpos a receber estudo prolongado foi o que envolvia a Lua, Terra e o Sol. Em um sentido moderno estendido, um problema de três corpos é qualquer problema em mecânica clássica ou mecânica quântica que modela o movimento de três partículas.
Descrição matemática A afirmação matemática do problema de três corpos pode ser dada em termos das equações newtonianas de movimento para posições vetoriais de três corpos gravitacionalmente interagindo com massas :
onde é a constante gravitacional. Este é um conjunto de nove equações diferenciais de segunda ordem. O problema também pode ser enunciado de forma equivalente no formalismo hamiltoniano, caso em que é descrito por um conjunto de 18 equações diferenciais de primeira ordem, uma para cada componente das posições e momento :
onde é o hamiltoniano:
Neste caso é simplesmente a energia total do sistema, gravitacional mais cinética.
Problema restrito de três corpos thumb|300px|O problema circular restrito de três corpos é uma aproximação válida das órbitas elípticas encontradas no Sistema Solar, e isso pode ser visualizado como uma combinação dos potenciais devidos à gravidade de dois corpos primários juntamente com o efeito centrífugo de sua rotação (efeitos Coriolis são dinâmicos e não mostrados). Os pontos de Lagrange podem ser vistos como os cinco lugares onde o gradiente na superfície resultante é zero (mostrado como linhas azuis), indicando que as forças estão em equilíbrio No problema restrito de três corpos, um corpo de massa desprezível (o "planetoide") se move sob a influência de dois corpos massivos. Tendo massa desprezível, a força que o planetoide exerce sobre os dois corpos massivos pode ser desprezada, e o sistema pode ser analisado e, portanto, descrito em termos de um movimento de dois corpos. Normalmente, esse movimento de dois corpos é considerado como consistindo de órbitas circulares em torno do centro de massa, e o planetoide se move no plano definido pelas órbitas circulares.
O problema restrito de três corpos é mais fácil de analisar teoricamente do que o problema completo. Também é de interesse prático, pois descreve com precisão muitos problemas do mundo real, sendo o exemplo mais importante o sistema Terra-Lua-Sol. Por essas razões, ocupou um papel importante no desenvolvimento histórico do problema de três corpos.
Matematicamente, o problema é enunciado da seguinte forma. Seja as massas dos dois corpos massivos, com coordenadas (planares) e , e deixe são as coordenadas do planetoide. Para simplificar, escolha unidades tais que a distância entre os dois corpos massivos, bem como a constante gravitacional, sejam iguais a . Então, o movimento do planetoide é dado por
onde . Nesta forma as equações de movimento carregam uma dependência de tempo explícita através das coordenadas . No entanto, esta dependência do tempo pode ser removida através de uma transformação para um referencial rotativo, o que simplifica qualquer análise subsequente.
Soluções 500px|thumb|Enquanto um sistema de três corpos interagindo gravitacionalmente é caótico, um sistema de três corpos interagindo elasticamente não é.
Solução geral Não existe uma solução geral de forma fechada para o problema de três corpos, o que significa que não existe uma solução geral que possa ser expressa em termos de um número finito de operações matemáticas padrão. Além disso, o movimento de três corpos geralmente não é repetido, exceto em casos especiais.
No entanto, em 1912, o matemático finlandês Karl F. Sundman provou que existe uma solução analítica para o problema de três corpos na forma de uma série de potências em termos de potências de .Barrow-Green, J. (2010). The dramatic episode of Sundman, Historia Mathematica 37, pp. 164–203. Esta série converge para todos os reais, exceto para as condições iniciais correspondentes ao momento angular zero. Na prática, esta última restrição é insignificante, pois as condições iniciais com momento angular zero são raras, tendo medida de Lebesgue zero.
Uma questão importante na comprovação deste resultado é o fato de que o raio de convergência para esta série é determinado pela distância até a singularidade mais próxima. Portanto, é necessário estudar as possíveis singularidades dos problemas de três corpos. Como será brevemente discutido abaixo, as únicas singularidades no problema de três corpos são colisões binárias (colisões entre duas partículas em um instante) e colisões triplas (colisões entre três partículas em um instante).
Colisões, sejam binárias ou triplas (na verdade, qualquer número), são um tanto improváveis, pois foi demonstrado que elas correspondem a um conjunto de condições iniciais de medida zero. No entanto, não há nenhum critério conhecido para ser colocado no estado inicial para evitar colisões para a solução correspondente. Assim, a estratégia de Sundman consistiu nos seguintes passos: Usando uma mudança de variáveis apropriada para continuar analisando a solução além da colisão binária, em um processo conhecido como regularização. Provando que colisões triplas só ocorrem quando o momento angular se anula. Ao restringir os dados iniciais a , ele removeu todas as singularidades reais das equações transformadas para o problema de três corpos. Mostrando que se , então não só não pode haver colisão tripla, mas o sistema está estritamente limitado a uma colisão tripla. Isso implica, usando o teorema da existência de Augustin-Louis Cauchy para equações diferenciais, que não há singularidades complexas em uma faixa (dependendo do valor de ) no plano complexo centrado em torno do eixo real (tons de Kovalevskaya). Encontre uma transformação conforme que mapeie essa faixa no disco unitário. Por exemplo, se (a nova variável após a regularização) e se , então este mapa é dado por
Isso conclui a prova do teorema de Sundman.
A série correspondente, no entanto, converge muito lentamente. Ou seja, obter um valor de precisão significativa requer tantos termos que esta solução é de pouca utilidade prática. De fato, em 1930, David Beloriszky calculou que se a série de Sundman fosse usada para observações astronômicas, então os cálculos envolveriam pelo menos 10 termos.
Soluções para casos especiais 400px|thumb|Uma animação da solução da figura em 8 para o problema dos três corpos em um único período T ≃ 6.3259Here the gravitational constant G has been set to 1, and the initial conditions are r1(0) = −r3(0) = (−0.97000436, 0.24308753); r2(0) = (0,0); v1(0) = v3(0) = (0.4662036850, 0.4323657300); v2(0) = (−0.93240737, −0.86473146). The values are obtained from Chenciner & Montgomery (2000). Em 1767, Leonhard Euler encontrou três famílias de soluções periódicas nas quais as três massas são colineares em cada instante. Veja Problema de Euler dos três corpos.
Em 1772, Joseph-Louis Lagrange encontrou uma família de soluções em que as três massas formam um triângulo equilátero a cada instante. Juntamente com as soluções colineares de Euler, essas soluções formam as configurações centrais para o problema de três corpos. Essas soluções são válidas para quaisquer razões de massa, e as massas se movem em elipses keplerianas. Essas quatro famílias são as únicas soluções conhecidas para as quais existem fórmulas analíticas explícitas. No caso especial do problema circular restrito de três corpos, essas soluções, vistas em um quadro girando com as primárias, tornam-se pontos que são referidos como L1, L2, L3, L4 e L5, e chamados de pontos lagrangianos, com L4 e L5 sendo instâncias simétricas da solução de Lagrange.
No trabalho resumido em 1892-1899, Henri Poincaré estabeleceu a existência de um número infinito de soluções periódicas para o problema restrito de três corpos, juntamente com técnicas para continuar essas soluções no problema geral de três corpos.
Em 1893, Meissel afirmou o que hoje é chamado de problema de três corpos de Pitágoras: três massas na razão 3:4:5 são colocadas em repouso nos vértices de um triângulo retângulo 3:4:5. Burrau investigou ainda mais esse problema em 1913. Em 1967, Victor Szebehely e C. Frederick Peters estabeleceram uma eventual fuga para este problema usando integração numérica, enquanto ao mesmo tempo encontravam uma solução periódica próxima.
Na década de 1970, Michel Hénon e Roger A. Broucke encontraram um conjunto de soluções que fazem parte da mesma família de soluções: a família Broucke-Henon-Hadjidemetriou. Nesta família, os três objetos têm a mesma massa e podem apresentar formas retrógradas e diretas. Em algumas das soluções de Broucke, dois dos corpos seguem o mesmo caminho.
thumb|500px|right|Vinte exemplos de soluções periódicas especiais para o problema dos três corpos. Em 1993, uma solução de momento angular zero com três massas iguais movendo-se em torno de uma forma de oito foi descoberta numericamente pelo físico Cristopher Moore no Santa Fe Institute. Sua existência formal foi provada mais tarde em 2000 pelos matemáticos Alain Chenciner e Richard Montgomery. A solução mostrou-se numericamente estável para pequenas perturbações da massa e dos parâmetros orbitais, o que torna possível que tais órbitas possam ser observadas no universo físico. No entanto, tem sido argumentado que esta ocorrência é improvável, uma vez que o domínio de estabilidade é pequeno. Por exemplo, a probabilidade de um evento de espalhamento binário-binário resultando em uma órbita em forma de 8 foi estimada em uma pequena fração de 1%.
Em 2013, os físicos Milovan Šuvakov e Veljko Dmitrašinović, do Instituto de Física de Belgrado, descobriram 13 novas famílias de soluções para o problema de três corpos com momento angular zero de massa igual.
Em 2015, a física Ana Hudomal descobriu 14 novas famílias de soluções para o problema de três corpos de massa igual e momento angular zero.
Em 2017, os pesquisadores Xiaoming Li e Shijun Liao encontraram 669 novas órbitas periódicas do problema de três corpos com momento angular zero de massa igual. Isso foi seguido em 2018 por 1.223 novas soluções adicionais para um sistema de momento angular zero de massas desiguais.
Em 2018, Li e Liao relataram 234 soluções para o problema de três corpos de "queda livre" de massa desigual. A formulação de queda livre do problema de três corpos começa com os três corpos em repouso. Por causa disso, as massas em uma configuração de queda livre não orbitam em um "loop" fechado, mas viajam para frente e para trás ao longo de uma "pista" aberta.
Abordagens numéricas Usando um computador, o problema pode ser resolvido arbitrariamente com alta precisão usando integração numérica, embora a alta precisão exija uma grande quantidade de tempo de CPU. Usando a teoria do passeio aleatório, a probabilidade de resultados diferentes pode ser calculada.
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