Em matemática, o teorema de Lusin (ou teorema de Luzin, nomeado em homenagem a Nikolai Luzin) é um dos resultados fundamentais da teoria da medida. Ele estabelece uma relação importante entre funções mensuráveis e funções contínuas, mostrando que, sob certas condições, uma função mensurável pode ser aproximada por uma função contínua em quase todo o seu domínio. Na formulação informal de J. E. Littlewood, "toda função mensurável é quase contínua".
Enunciado Clássico Seja uma função mensurável segundo a medida de Lebesgue. Então, para todo , existe uma função contínua tal que: , onde denota a medida de Lebesgue.
Equivalentemente, para todo , existe um conjunto compacto tal que restrita a é contínua e: , ou seja, . Aqui, a continuidade de restrita a é entendida na topologia de subespaço herdada de .
Além disso, se uma função é finita quase em toda parte e satisfaz a condição de que, para todo , existe uma função contínua tal que , então é mensurável.
Forma Geral Em um contexto mais amplo, considere um espaço de medida de Radon e um espaço topológico segundo-contável equipado com uma álgebra de Borel. Seja uma função mensurável. Dado , para todo de medida finita, existe um conjunto fechado tal que e restrita a é contínua. Se é localmente compacto e , pode-se escolher compacto e até encontrar uma função contínua com suporte compacto que coincide com em e satisfaz: .
Informalmente, funções mensuráveis em espaços com base contável podem ser aproximadas por funções contínuas em porções arbitrariamente grandes de seu domínio.
Sobre a Demonstração A demonstração do teorema de Lusin pode ser encontrada em diversos livros clássicos de análise real. Intuitivamente, o resultado segue como uma consequência do teorema de Egorov e da densidade de funções suaves. O teorema de Egorov afirma que a convergência pontual é quase uniforme, e a convergência uniforme preserva a continuidade.
Exemplo A força do teorema de Lusin pode não ser imediatamente óbvia, mas pode ser ilustrada com um exemplo. Considere a função de Dirichlet, isto é, a função indicadora no intervalo unitário , que assume valor 1 nos racionais e 0 nos irracionais. Embora os racionais sejam densos nos reais, o teorema garante que é possível encontrar um conjunto onde a função restrita é contínua. Por exemplo, seja uma enumeração dos racionais em . Defina: e . Os conjuntos abertos "removem" todos os racionais, deixando como um conjunto fechado e compacto, sem racionais, com medida . Em , a função é constante (igual a 0), portanto contínua.
Referências Fontes N. Lusin. "Sur les propriétés des fonctions mesurables", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 154 (1912), 1688–1690. G. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2ª ed., Capítulo 7. W. Zygmunt. Scorza-Dragoni property (em polonês), UMCS, Lublin, 1990. M. B. Feldman. "A Proof of Lusin's Theorem", American Mathematical Monthly, 88 (1981), 191-192. L. C. Evans, R. F. Gariepy. Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Textbooks in Mathematics, Teorema 1.14.
Citações
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