Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, em outras palavras, ele estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região D e a integral de linha ao longo de sua fronteira. Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do Teorema de Stokes.
Enunciado miniatura|direita|Folha de rosto do livro Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism, de 1828, em que se encontra a primeira demonstração do teorema de Green. Seja C uma curva simples, fechada e derivável, D a região do plano delimitada por C, e P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas numa região contendo D,ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. Página 1039. então:
Para evidenciar o fato de que a primeira integral é definida ao longo de uma curva fechada, por vezes esta é representada por:
Relação com o teorema de Stokes O teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.
Podemos aumentar o campo vetorial de duas dimensões a um de três dimensões no qual a componente z é constante e igual a zero.
Vamos escrever F como uma função vetorial . Começaremos com o lado esquerdo do teorema de Green:
Aplicando o teorema de Kelvin-Stokes:
A superfície é simplesmente a região no plano , com o vetor normal unitário apontando na direção positiva de z, de tal maneira que coincida com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas (Green e Stokes). Logo, se verifica .
Desse modo, a expressão dentro da integral fica:
Desta maneira obtemos o lado direito do teorema de Green:
Relação com o teorema da divergência Outro modo de análise se dá pelo teorema da divergência, o qual pode ser aplicado a qualquer número de dimensões e se trata de um caso especial do teorema de Stokes. Em duas dimensões, é equivalente ao teorema de Green.
onde é o vetor normal apontando para fora da fronteira.
Para entender, considere a unidade normal na parte direita da equação. Como é um vetor apontando tangencialmente através de uma curva, e a curva C está orientada de maneira positiva através da fronteira, um vetor normal apontando para fora da fronteira seria aquele que aponta em 90º horizontalmente, o qual poderia ser . O módulo de este vetor é . Portanto .
Tomando as componentes de , o lado direito se converte em
que por meio do teorema de Green resulta em:
Cálculo de área A utilização do teorema de Green permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada.
Seja um domínio do plano ao qual o teorema de Green se aplica e seja a fronteira, orientada positivamente em relação a . Temos:
e tendo respectivamente e , ou e , ou enfim e , cada um desses três casos verifica que
Vamos mostrar o exemplo de uma elipse cuja borda é parametrizada por:
Onde t pertence aos reais e variando de 0 até .
Temos:
Obtendo:
Demostramos, então, que a área da elipse de semi-eixos e é πab.
Ver também Identidades de Green
Categoria:Análise matemática Green