Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.
Função real limitada Uma função real é limitada se existe uma constante tal que:
Além disso, dizemos que é uma função limitada superiormente quando existe tal que:
.
Analogamente, dizemos que é limitada inferiormente quando existe tal que:
.
Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.
Propriedades Sejam duas funções e de contra-domínio real. Se é limitada, e se , então . Demonstração Suponhamos que é uma função não-negativa. Se não há nada mais a fazer. Se é positiva, temos que como é limitada, então existe , tal que . Segue que: e assim . Logo:
Assim, pelo teorema do confronto, . O caso de negativa segue raciocínio análogo.
Observação Note que um funcional linear nunca é limitado neste sentido. O termo funcional linear limitado é um funcional que leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
limitada