Efeito de Eötvös 260px|alt=Diagrama das direções das forças gravitacional e centrífuga na superfície terrestre.Direções das forças gravitacional e centrífuga na superfície terrestre. Área Geodésia Grandeza observada Peso aparente Nome em referência a Loránd Eötvös Aplicação Correção de medições gravimétricas em plataformas móveis
O efeito de Eötvös é a alteração no peso aparente de um corpo e na gravidade medida devida ao seu movimento em relação à superfície terrestre. Ao se mover para leste, a velocidade angular do objeto ao redor do eixo terrestre aumenta em relação à de um objeto que acompanha a rotação da Terra. Para manter a mesma altitude, o objeto precisa de uma força de sustentação menor, o que reduz seu peso aparente. No referencial que gira com a Terra, a parcela que varia linearmente com a velocidade leste-oeste corresponde à componente vertical da aceleração de Coriolis. Para uma mesma velocidade nessa direção, seu módulo é máximo no equador, diminui com o cosseno da latitude e se anula nos polos.
Descoberta miniatura|direita|180px|Loránd Eötvös em 1918, fotografado por Aladár Székely.
Em 1859, Jacques Babinet e Charles-Eugène Delaunay discutiram a deflexão produzida pela rotação terrestre em movimentos na direção leste-oeste. Babinet obteve inicialmente metade do valor correto. Delaunay refez a análise e chegou ao fator que aparece na aceleração de Coriolis.
No início do século XX, uma equipe alemã do Instituto Geodésico de Potsdam realizou medições de gravidade em navios em movimento nos oceanos Atlântico, Índico e Pacífico. Oskar Hecker, geofísico do instituto, publicou os resultados dessas campanhas e reuniu em 1910 as medições oceânicas com as realizadas no Mar Negro.
Ao estudar os resultados, o físico húngaro barão Loránd Eötvös percebeu que as leituras eram menores quando o navio seguia para leste e maiores quando seguia para oeste. Ele concluiu que a principal causa era a rotação da Terra. Em 1908, novas medições foram realizadas no Mar Negro com dois navios, um seguindo para leste e outro para oeste. Os resultados confirmaram a conclusão de Eötvös. Sua demonstração experimental foi publicada em 1919 na Annalen der Physik.
Formulação Geodesistas usam a expressão a seguir para corrigir o efeito da velocidade relativa à Terra durante um levantamento gravimétrico, na aproximação de uma Terra esférica e de movimento horizontal próximo à superfície:
Nessa expressão:
é a correção de aceleração a ser somada à leitura do gravímetro para compensar o movimento. é a velocidade angular de rotação da Terra. é a componente da velocidade na direção leste-oeste, positiva para leste e negativa para oeste. é a latitude em que as medições são realizadas. é a componente da velocidade na direção norte-sul. é o raio adotado para a Terra esférica.
As componentes e são medidas em relação à superfície terrestre. A altitude constante, e sem outras acelerações do instrumento, a relação entre a leitura em movimento e o valor correspondente ao repouso no mesmo local é:
O primeiro termo, , é a componente vertical da aceleração de Coriolis, positiva para cima. O segundo, , corresponde à parcela devida à curvatura da trajetória sobre a superfície terrestre e existiria mesmo sobre uma esfera que não girasse. Esse termo quadrático reduz o peso aparente em qualquer direção de movimento. Para oeste, o peso aparente aumenta apenas quando o termo linear negativo predomina sobre o termo quadrático.
Na mesma aproximação esférica, para movimento a uma altitude , o denominador do termo quadrático é . Cálculos mais precisos para aeronaves levam em conta o elipsoide terrestre e a altitude do instrumento.
A correção de Eötvös é usada em medições feitas a bordo de navios e aeronaves. Ela não substitui as correções das acelerações verticais da plataforma, da inclinação do instrumento e de sua deriva.
Explicação física miniatura|direita|230px|Esquema de um gravímetro LaCoste-Romberg. No desenho, os termos alemães "Spiegel" e "Lichtstrahl" significam "espelho" e "raio de luz".
Um modelo comum de gravímetro relativo usado em trabalhos de campo baseia-se em uma massa sustentada por uma mola. Em um modelo idealizado, a força da mola se contrapõe à força gravitacional e obedece à Lei de Hooke, sendo proporcional ao alongamento em relação ao comprimento natural. Quanto maior o peso aparente da massa interna, maior é o alongamento necessário para sustentá-la. O amortecimento das partes móveis reduz a interferência de vibrações.
Nos exemplos a seguir, considera-se uma massa interna de 10 kg transportada por um dirigível em movimento suave, a altitude constante e pequena em comparação com o raio terrestre. São cálculos ilustrativos com uma Terra esférica, sem as acelerações produzidas por manobras ou turbulência. Adotam-se um raio de 6.378 km e uma velocidade angular de rotação de aproximadamente . As velocidades de deslocamento são medidas em relação ao solo. Para expressar as diferenças de força como diferenças equivalentes na indicação de uma balança, usa-se uma aceleração de referência de 9,81 m/s².
Movimento ao longo do equador miniatura|direita|300px|Correção de Eötvös expressa como força, , para um corpo de 10 kg em movimento ao longo do equador. Os valores positivos correspondem a uma redução do peso aparente. A velocidade é medida no referencial em rotação, positiva para leste e negativa para oeste.
Para calcular a força necessária para que a massa interna de um gravímetro permaneça em equilíbrio quando estacionária em relação à Terra, é preciso levar em conta a rotação terrestre. No equador, a velocidade da superfície da Terra é de cerca de 465,1 m/s.
A força centrípeta necessária para que um objeto percorra uma trajetória circular de raio igual a 6.378 km, aproximadamente o raio equatorial da Terra, a essa velocidade é de cerca de 0,0339 N por quilograma de massa. Para a massa interna de 10 kg, isso corresponde a aproximadamente 0,339 N. A força de sustentação necessária é igual à força de atração gravitacional sobre a massa interna menos esses 0,339 N. A redução direta do peso aparente devida à rotação é de cerca de 0,35%, sem incluir mudanças na forma ou na distribuição de massa da Terra.
Tomando uma velocidade de 10 m/s para leste, a velocidade total passa a ser aproximadamente 475,1 m/s, o que exige uma força centrípeta de cerca de 0,0354 N por quilograma. A 10 m/s para oeste, a velocidade total é aproximadamente 455,1 m/s, exigindo cerca de 0,0325 N por quilograma.
Após a inversão do sentido de movimento de leste para oeste, o peso aparente da massa interna aumenta aproximadamente 0,0292 N. Isso equivale a um aumento de cerca de 3,0 g na indicação de uma balança, embora a massa do corpo permaneça igual a 10 kg. A mola precisa se alongar um pouco mais até atingir o novo equilíbrio.
Na atmosfera, a componente vertical da aceleração de Coriolis é pequena diante da aceleração gravitacional e da aceleração produzida pelo gradiente vertical de pressão. Ainda assim, sua inclusão altera o balanço vertical de forças usado no equilíbrio hidrostático, sobretudo em aplicações nas baixas latitudes. Formulações meteorológicas que preservam os termos não tradicionais de Coriolis incluem essa componente.
Dedução da fórmula no caso simplificado A fórmula pode ser deduzida para o movimento ao longo do equador.
Um sistema de coordenadas conveniente nessa situação é um referencial aproximadamente inercial cuja origem acompanha o centro de massa da Terra, mas que não gira com ela. Objetos em repouso em relação à superfície terrestre giram junto com o planeta e percorrem trajetórias em torno de seu eixo. Por isso, apresentam aceleração centrípeta em relação a esse referencial.
Procura-se a diferença entre a aceleração centrípeta do dirigível quando ele está estacionário em relação à Terra e quando possui velocidade em relação a ela. A dedução a seguir vale para movimento na direção leste-oeste, a uma distância constante do centro da Terra, aproximada por .
Usa-se a seguinte notação:
é a aceleração centrípeta total durante o movimento ao longo da superfície terrestre. é a aceleração centrípeta quando o dirigível está estacionário em relação à Terra. é a velocidade angular da Terra, aproximadamente uma revolução por dia sideral. é a velocidade angular do dirigível em relação à Terra. é a velocidade angular total do dirigível. é a velocidade do dirigível em relação à Terra, positiva para leste. é o raio da Terra.
Para movimento exclusivamente leste-oeste ao longo do equador, e . A expressão geral reduz-se então à equação acima:
O segundo termo corresponde à componente radial da aceleração centrípeta necessária para acompanhar a curvatura da Terra. Ele independe da rotação terrestre e do sentido do movimento. Por exemplo, quando uma aeronave equipada com instrumentos para medições gravimétricas passa sobre um dos polos a altitude constante, sua trajetória acompanha a curvatura terrestre. Nesse caso, o primeiro termo é zero porque o cosseno da latitude é zero. O segundo permanece diferente de zero enquanto a aeronave se desloca.
Explicação do cosseno no primeiro termo miniatura|direita|256px|Esquema da força gravitacional e da força normal sobre um corpo que acompanha a rotação terrestre. No referencial não girante, a resultante fornece a força centrípeta necessária.
A dedução matemática do efeito de Eötvös para o movimento ao longo do equador explica o fator 2 no primeiro termo da fórmula de correção. Resta explicar o fator cosseno.
Devido à rotação, a Terra não é perfeitamente esférica e possui uma saliência equatorial. No referencial que gira com o planeta, a aceleração de gravidade efetiva resulta da combinação entre a atração gravitacional e a aceleração centrífuga. A força normal é perpendicular à superfície local. Nesse referencial, a aceleração centrífuga em um ponto depende da posição e da rotação terrestre, não da velocidade do corpo em relação ao solo. A parcela linear que depende dessa velocidade é a aceleração de Coriolis.
Nos polos, a aceleração centrífuga devida à rotação terrestre é nula. No equador, ela atua na direção vertical local e reduz a gravidade efetiva. Para obter a componente vertical de Coriolis, decompõe-se o vetor da velocidade angular da Terra em componentes vertical e horizontal. A componente horizontal tem módulo . Para um movimento leste-oeste, é essa componente que produz a aceleração de Coriolis na direção vertical, dando origem ao fator . Essa dependência geométrica também existe no modelo de uma Terra esférica.
Embora sólidas, as rochas do manto podem deformar-se e fluir lentamente em escalas geológicas sob tensões, inclusive tensões de cisalhamento. A forma achatada da Terra é próxima da figura prevista para o equilíbrio entre a gravitação e a rotação, mas não coincide exatamente com ela.
O exemplo do dirigível é útil para visualizar as forças envolvidas. Quando ele possui velocidade para leste em relação à Terra, sua velocidade angular em torno do eixo terrestre aumenta. A situação pode ser comparada à de um automóvel em uma curva inclinada com pavimento muito escorregadio. Se o automóvel estiver rápido demais, tenderá a se deslocar para o lado externo da curva. Para o dirigível mantido à mesma altitude, o resultado é uma redução do peso aparente em comparação com a situação em que está estacionário em relação à superfície.
Para as velocidades e latitudes usadas nos exemplos, o movimento para oeste diminui o módulo da velocidade angular do dirigível. Na mesma comparação, o automóvel percorre a curva devagar demais e tende a descer pela inclinação. Para o dirigível, isso corresponde a um aumento do peso aparente.