O estudo da dinâmica das populações naturais é importante para compreender o que ocorre nos ecossistemas em equilíbrio. Para avaliar o desenvolvimento de uma população, é preciso conhecer certos atributos que lhe são característicos: taxa de natalidade (), taxa de mortalidade (), taxa de imigração (), taxa de emigração ().

Numa população animal, são os seguintes os fatores que alteram os seus números: thumb|433x433px|Gráfico taxa de natalidade Número de indivíduos que nascem em um determinado intervalo de tempo.

taxa de mortalidade Número de indivíduos que morrem em um determinado período de tempo.

taxa de imigração Número de indivíduos que chegam a uma população.

taxa de emigração Número de indivíduos que saem de uma população.

densidade populacional é a relação entre o número de indivíduos que compõem determinada população e o espaço ocupado por eles. .

Para uma população em equilíbrio, temos:

Introdução Compreender os fenômenos da natureza e suas leis tem sido uma busca constante da humanidade, com intuito de favorecer a vida em sociedade do homem. Neste sentido, a busca por alternativas que possam melhorar o desenvolvimento populacional e social tem sido retratada como questões de grande importância.

            Historicamente,estas questões foram tratadas principalmente no ramo das ciências humanas, no que tange a estudos geográficos. Entretanto, a partir do século XVIII, o estatístico e economista Thomas Malthus desenvolveu um modelo matemático para estudar o crescimento populacional mundial, sendo ele um dos precursores da demografia, ciência que estuda a dinâmica de populações.

            O modelo de Malthus foi criado em 1798 e gerou uma acirrada controvérsia no começo do século XIX, pois Malthus afirmava que a população mundial crescia apenas em proporção geométrica, enquanto os meios de sobrevivência cresciam apenas em proporção aritmética. Portanto, a população seria controlada por fome, miséria e muitas outras coisas da natureza.

            Já o modelo de Verhulst ou modelo logístico foi apresentado em 1837 e propõe que o crescimento da população é limitado por um fator logístico, que é a capacidade de sustentação do meio ambiente. Este modelo supõe que uma população, vivendo num determinado meio, crescerá até um limite sustentável, ou seja, ela tenderá a uma estabilidade. A equação incorpora a queda do crescimento da população que está sujeita a um fator inibidor.

História left|thumb|226x226px|Tomas Robert Malthus  A teoria criada por Tomas Robert Malthus (1766-1834), economista e demógrafo inglês, e que ganhou o nome de “Malthusianismo” foi a primeira teoria populacional a relacionar o crescimento da população com a fome, afirmando a tendência do crescimento populacional em progressão geométrica, e do crescimento da oferta de alimentos em progressão aritmética.

Durante os séculos XVIII e XIX houve um acentuado crescimento demográfico devido à consolidação do capitalismo e à revolução industrial que proporcionou a elevação da produção de alimentos nos países em processo de industrialização diminuindo a taxa de mortalidade (principalmente na Europa e nos EUA). Isto fez com que os índices de crescimento da população subissem provocando discussões que culminariam em diversas teorias sobre o crescimento populacional, destacando-se o malthusianismo.

Lançada sob o título “Ensaio sobre o princípio de população e seus efeitos sobre o aperfeiçoamento futuro da sociedade, com observações sobre as especulações de Mr. Godwin, Mr. Condorcet e outros autores”, a teoria de Malthus caracteriza-se pelo grande pessimismo em relação ao crescimento populacional.

Malthus acreditava que o crescimento demográfico iria ultrapassar a capacidade produtiva da terra gerando fome e miséria.

Segundo Malthus, as únicas formas de evitar que isso acontecesse seria reduzindo a taxa de natalidade através da proibição de que casais muito jovens tivessem filhos, do controle da quantidade de filhos por família nos países pobres, do aumento do preço dos alimentos e da redução dos salários para forçar as populações mais pobres a ter menos filhos.

Entretanto, Malthus argumentava que a alta taxa de mortalidade e fecundidade seriam praticamente impossíveis de reduzir uma vez que eram consequências de fatores fora do alcance da intervenção humana. Por isso, ele defendia que desastres como a fome, a epidemia e a guerra eram benéficas no sentido de serem um controle para o crescimento populacional.

Dentre os que se opunham à teoria de Malthus destacou-se Jean-Antonio Nicholas Caritat, o Marquês de Condorcet (1743-1794). Ele acreditava que as altas taxas de mortalidade e fecundidade registradas na época eram devidas à ignorância, às superstições e ao preconceito e que apenas “as luzes da razão” seriam capazes de reverter essa situação. Sua teoria, publicada entre 1793 e 1794, se intitulava “Esboço de um quadro histórico dos progressos do espírito humano” e, ao contrário de Malthus, apresentava uma visão bastante positiva do progresso humano.

            Verhulst (1804-1849) foi um matemático belga que introduziu um modelo matemático para o crescimento populacional humano em 1837. Ele se refere a esse crescimento como crescimento logístico; por isso, o modelo de Verhulst é chamado, muitas vezes, de modelo logístico. Ele não foi capaz de testar a precisão do seu modelo devido a dados inadequados do censo e não recebeu muita atenção até muitos anos depois. A concordância razoável do modelo com dados experimentais foi demonstrada por R. Pearl (1930) para populações de Drosophila melanogaster (mosca das frutas) e por G. F. Gause (1935) para populações de Paramecium e Tribolium (besouro da farinha).ROCHA, Naiara Chierici; BOTTA, Vanessa. Dinâmica populacional aplicada à população de Adamantina. Omnia Exatas, v.2, n.2, p.56-65, 2009.

Aporte Teórico A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do mundo real, segundo (BASSANEZI 2002, p. 98). A modelagem pressupõe multidisciplinaridade, nesse sentido, vai ao encontro das novas tendências que apontam para a remoção de fronteiras entre as diversas áreas de pesquisa. Em seus vários aspectos, é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e tem papel importante na busca de meios para agir sobre ela e assim transformá-la. A modelagem matemática surge da necessidade do homem compreender os fenômenos que o cercam de modo que possa interferir ou não em seu processo de construção. São previsões de tendências e aproximações da realidade. Ela não pode ser utilizada apenas para justificar o conteúdo que está sendo ensinado, mas sim se deve ter fundamento, isto é, saber o motivo pelo qual o aluno deve aprender matemática e a importância que isto representa na formação dele como cidadão responsável e participativo na sua sociedade.

Nesse sentido pode-se dizer que a Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo que busca descrever matematicamente um fenômeno da nossa realidade para tentar compreendê-lo e estudá-lo, criando hipóteses e reflexões sobre tais fenômenos. Os modelos devem ser testados em confronto com os dados empíricos, comparando suas soluções e previsões com os valores obtidos no sistema real. Um modelo deve prever, no mínimo, os fatos que os originaram e os motivos dos resultados obtidos, que facilita avaliar as previsões ou mesmo sugerir um aperfeiçoamento dos modelos. Seja qual for o caso, a resolução de um problema em geral quantificado requer uma formulação matemática detalhada. Uma perspectiva, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir de alguma forma um fenômeno em questão ou problema de situação real, denomina-se “Modelo Matemático”. Na ciência, a noção de modelo é fundamental. Em especial a matemática com sua arquitetura, permitem a elaboração de Modelos Matemáticos possibilitando uma melhor compreensão, simulação e previsão do fenômeno testado.

A elaboração de um modelo depende do conhecimento matemático que se tem. Se o conhecimento matemático restringe-se a uma matemática elementar, como aritmética e ou medidas, o modelo pode ficar delimitado a esses impasses. Quanto maior o conhecimento matemático maiores serão as possibilidades de resolver questões que exijam uma matemática mais sofisticada. Porém o valor de um modelo não está restrito a sofisticação matemática e sim a sua relevância e importância.

Fases típicas do desenvolvimento da população miniaturadaimagem|404x404px|O gráfico mostra as fases de desenvolvimento populacional. Para amostrar o desenvolvimento das populações, foi desenvolvido um modelo com seis fases. Em uma população real, normalmente não ocorrem todas as fases. A população pode já morrer na fase 1, ou então se perpetuar para além da fase 6, e não morrer nesta, como mostrado no gráfico.

Fase I: fase de latência ou start-up O tamanho da população não apresenta grandes mudanças e está longe de sua capacidade total. A taxa de nascimento e morte estão próximas. Não há falta de recursos, fatores dependentes da densidade, e não há nenhuma competição. A taxa de natalidade é baixa porque pela baixa densidade populacional, encontros intraespecíficos são mais raros. A mortalidade dependente de predadores externos também é baixa pois existem esconderijos suficientes no habitat, dada a baixa densidade da população da espécie estudada. Até mesmo doenças são raras devido aos poucos encontros intraespecíficos População fundadora: Populações pequenas causadas ​​pela emigração de parte da população ou por catástrofes. Pequenas populações podem ser liquidadas em um novo habitat, antes que as novas fontes de alimento sejam perfeitamente utilizadas pela população, alterando as condições de nutrição por algum tempo.

Ajuste de substrato: Para micro-organismos que podem utilizar vários substratos, normalmente se leva algum tempo (minutos a horas) até a conversão em direção ao novo substrato (por exemplo, mudança de anaeróbio para o metabolismo aeróbio em células de levedura). Quase nenhum crescimento nesta fase de transição pode ser observado. Flutuações na densidade populacional (oscilações) podem ser genéticas, por exemplo, as flutuações devido ao acaso. Se uma certa densidade populacional não for atingida, a população pode se extinguir. Quando um determinado valor é excedido, a população pode resultar na fase exponencial.

Fase II a IV: fase de crescimento positivo A taxa de natalidade é mais elevada do que a taxa de mortalidade.

Fase II: O crescimento exponencial (fase log). Primeiramente ocorre crescimento exponencial porque a taxa de natalidade aumenta mais rapidamente do que a taxa de mortalidade. Os recursos são tão abundantes que a competição intraespecífica é irrelevante. A população de predadores é inicialmente tão baixa ou esconderijos são tão numerosos que a taxa de mortalidade permanece baixa. Com o aumento do tamanho da população, também se aumenta a taxa de mortalidade.

Fase III: Crescimento linear. O aumento das taxas de natalidade e mortalidade crescem em igual rapidez, a população aumenta linearmente.

Fase IV: Atraso de crescimento. Com o aumento da proximidade com o limite da capacidade suporte, as relações intraespecíficas e a competição interespecífica passa a desempenhar um papel cada vez mais importante, de modo que o aumento da taxa de natalidade é retardado e a taxa de mortalidade aumenta. Com o aumento da densidade da população, também aumenta a densidade populacional de predadores ou os predadores se especializam cada vez mais nessa presa. O crescimento se torna assim, cada vez mais retardado.

Fase V: transportador