miniaturadaimagem|Fórmula integral de Cauchy Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.Brown; Churchill, 2003, p. 157
O teorema Seja uma função holomorfa definida no conjunto simplesmente conexo e um contorno simplesmente fechado C em . Então, temos que para todo z0 no interior de C
onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.
A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que
denominada integral de Cauchy generalizada.Brown; Churchill, 2003, p. 161Arfken; Weber, 2005, p. 426 A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.
A ideia da prova Para demonstrarmos a fórmula, começamos observando que a função holomorfa definida por , por ter derivada nesse ponto, possui uma singularidade removível em , e portanto vale o teorema integral de Cauchy: . Portanto, , o que implica o teorema.
Funções Não Holomorfas Para uma função não holomorfa, as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, ou seja:
e a fórmula de Cauchy torna-se
importante notar que a 2-forma se anula sempre que f é analítica, e retornamos à Fórmula de Cauchy usual.
Bibliografia
Ligações externas
Categoria:Análise complexa Categoria:Teoremas em análise complexa