Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existem diversas variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier,Aspects de l’œuvre de Fourier émission Continent Sciences sur France Culture, 7 février 2011 decompõe uma função temporal (um sinal) em frequências, tal como um acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude (ou volume) das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função temporal é uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de deslocamento da base sinusoidal naquela frequência.
A transformada de Fourier é chamada de representação do domínio da frequência do sinal original. O termo transformada de Fourier refere-se a ambas representações do domínio frequência e à operação matemática que associa a representação domínio frequência a uma função temporal. A transformada de Fourier não é limitada a funções temporais, contudo para fins de convenção, o domínio original é comumente referido como domínio do tempo. Para muitas funções de interesse prático, pode-se definir uma operação de reversão: a transformada inversa de Fourier, também chamada de síntese de Fourier, de um domínio de frequência combina as contribuições de todas as frequências diferentes para a reconstituição de uma função temporal original.
Operações lineares aplicadas em um dos domínios (tempo ou frequência) resultam em operações correspondentes no outro domínio, o que, em certas ocasiões, podem ser mais fáceis de efetuar. A operação de diferenciação no domínio do tempo corresponde à multiplicação na frequência, o que torna mais fácil a análise de equações diferenciais no domínio da frequência. Além disso, a convolução no domínio temporal corresponde à multiplicação ordinária no domínio da frequência. Isso significa que qualquer sistema linear que não varia com o tempo, como um filtro aplicado a um sinal, pode ser expressado de maneira relativamente simples como uma operação nas frequências. Após realizar a operação desejada, a transformação do resultado alterna para o domínio do tempo. A Análise harmônica é o estudo sistemático da relação entre os domínios de tempo e frequência, incluindo os tipos de funções ou operações que são mais "simples" em um ou em outro, e possui ligações profundas a muitas áreas da matemática moderna.
Definição Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função . Utilizaremos a seguinte representação:
A afirmação de que pode ser reconstruída a partir de é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções e são conhecidas como par integral de Fourier.
Introdução Uma motivação para a transformada de Fourier vêm do estudo da série de Fourier. Nesse estudo, funções complicadas porém periódicas são escritas como o somatório de ondas simples matematicamente representadas por senos e cossenos. A transformada de Fourier é uma extensão da série de Fourier que resulta quando o período da função representada é maximizado, aproximando-se do infinito. miniaturadaimagem|300x300px|Nos primeiros quadros, uma função é representada por uma série de Fourier: uma combinação linear de senos e cossenos (em azul). As componentes frequência desses senos e cossenos distribuem-se ao longo do espectro de frequência; são representadas como deltas de Dirac no eixo . A representação do domínio da função é o conjunto desses picos nas frequências que aparecem na resolução da função. Devido às propriedades dos senos e dos cossenos, é possível determinar a amplitude de cada onda da série de Fourier utilizando uma integração. Em muitos casos é desejável usar a identidade de Euler, , para escrever a série de Fourier em termos de ondas básicas . Esse procedimento possui a vantagem de simplificar muitas fórmulas envolvidas e provém uma formulação da série de Fourier que relembra a definição utilizada nesse artigo. Reescrevendo senos e cossenos como exponenciais complexas torna necessário que os coeficientes de Fourier sejam valores complexos. A intepretação usual desse número complexo é que ele fornece ambas amplitude (ou tamanho) da onda presente na função e a fase (ou ângulo inicial) da onda. Essas exponenciais complexas algumas vezes possuem "frequências" negativas. Se é medido em segundos, então ambas ondas e completam um ciclo por segundo mas representam frequências diferentes na transformada de Fourier. Assim, frequência não mais mede o número de ciclos por unidade de tempo, mas ainda possui interpretação similar.
Existe uma forte conexão entre as definições de série de Fourier e a transformada de Fourier para funções que são zero fora de um intervalo. Para tal função, pode-se calcular sua série de Fourier em qualquer intervalo que inclui os pontos onde não é identicamente zero. A transformada de Fourier também é definida para tal função. À medida que aumenta-se o comprimento do intervalo em que calcula-se a série de Fourier, então os coeficientes da série de Fourier começam a assemelhar-se à transformada de Fourier e o somatório da série de Fourier de começa a assemelhar-se à transformada inversa de Fourier. Para explicar isso mais precisamente, suponha que é suficientemente longo que o intervalo contenha o intervalo em que não seja identicamente zero. Então o n-ésimo termo do coeficiente será dado por
Comparando isso com a definição de transformada de Fourier, pode-se deduzir que
desde que seja nula fora do intervalo .
Sob certas condições, a série de Fourier de pode ser igual à função . Em outras palavras, pode ser escrita como
onde o segundo somatório é simplesmente o primeiro somatório reescrito, utilizando as definições e .
O segundo somatório configura uma soma de Riemann, e à medida em que ela convergirá para a integral da transformada de Fourier inversa apresentada na seção de Definição.
No estudo da série de Fourier os números podem ser interpretados como a "quantidade" da onda presente na série de Fourier de . Semelhantemente, como visto acima, a transformada de Fourier pode ser vista como a função que mensura o quanto de cada frequência individual encontra-se presente na função , e pode-se recombinar essas ondas com o uso da transformada inversa de Fourier, reproduzindo a função original.
Propriedades da transformada de Fourier Assume-se aqui que , e são funções integráveis: Lebesgue-mensuráveis no domínio satisfazendo .
Denota-se as transformadas de Fourier destas funções como , e , respectivamente.
Propriedades básicas A transformada de Fourier possui as seguintes propriedades básicas:
Linearidade ou superposição Para quaisquer números complexos e , se , então
Demonstração:Azevedo, Sauter, Fábio, Esequia. Análise de Fourier: Um Livro Colaborativo (PDF). Porto Alegre-RS: UFRGS
Essa demonstração vem direto da propriedade de linearidade da integral.
Seja: =
Deslocamento no eixo t Considerando uma função e sua transformada de Fourier , então:
Demonstração:Azevedo, Sauter, Fábio, Esequia. Análise de Fourier: Um Livro Colaborativo (PDF). Porto Alegre-RS: UFRGS
Translação ou deslocamento no tempo Para qualquer número real , se , então
Demonstração:
Fazendo e , obtemos:
Modulação ou deslocamento na frequência Para qualquer número real , se , então
Demonstração:
Seja: =
Usando a definição de Transformada de Fourier:Azevedo, Sauter, Fábio, Esequia. Análise de Fourier: Um Livro Colaborativo (PDF). Porto Alegre-RS: UFRGS
Mudança de escala Para um número real não-nulo, se , então .
O caso leva à propriedade da inversão temporal, a qual afirma: se , então .
Demonstração:
Seja
Fazendo uma mudança de variável onde , temos:
Caso 1:
Chamando de
Caso 2:
Chamando agora de
Trocando por
Usando a propriedade da inversão temporal:
Ou seja, em todos os casos:
Conjugação Se , então ou
Em particular, se , têm-se a condição de realidade , ou seja, é uma função hermitiana.
Por outro lado, se é puramente imaginária então
Integração Substituindo na definição, obtém-se que , ou seja, a avaliação da transformada de Fourier na origem corresponde à integral de sobre todo o eixo.
Assim, , onde é uma função integrável tal que sua transformada de Fourier satisfaça
Transformada da derivada Dada uma função diferenciável tal que
e sua transformada de Fourier , então:
Demonstração: de fato, usando integração por partes temos
Essa propriedade reflete o fato de que a transformada de Fourier decompõe a função em funções do tipo , cuja derivada é . De fato está propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de em sua integral de Fourier, isto é:
Simetria e dualidade Muitas vezes não se pensa em nenhuma unidade como sendo anexada às duas variáveis t e ξ. Mas em aplicações físicas, ξ deve ter unidades inversas às unidades de t. Por exemplo, se t é medido em segundos, ξ deve ser em frequência, para que as fórmulas mostradas aqui sejam válidas. Se a escala de t é alterada e t é medido na unidades de 2π segundos, então ξ deve estar na chamada "frequência angular", ou deve-se inserir algum fator de escala constante em algumas das fórmulas. Se t é medido em unidades de comprimento, ξ deve estar no comprimento inverso. Isto e para afirmar que existem duas cópias da linha real: uma medida em um conjunto de unidades, onde t varia, e outra em unidades inversas às unidades de t, e qual é o intervalo de ξ. Então, essas são duas cópias distintas da linha real e não podem ser identificadas umas com as outras. Portanto, a transformada de Fourier vai de um espaço de funções para um espaço diferente de funções: funções que têm um domínio diferente de definição.
Em geral, ξ deve ser sempre tomado como uma forma linear no espaço de ts, o que equivale a dizer que a segunda linha real é o espaço dual da primeira linha real. Veja o artigo sobre álgebra linear para uma explicação mais formal e para mais detalhes. Este ponto de vista torna-se essencial nas generalizações da transformada de Fourier para grupos gerais de simetria, incluindo o caso das séries de Fourier.
Que não existe uma maneira preferida (muitas vezes, diz-se "não canônico") para comparar as duas cópias da linha real que estão envolvidas na transformada de Fourier — fixar as unidades em uma linha não força a escala das unidades em a outra linha - é a razão para a multiplicidade de convenções rivais sobre a definição da transformada de Fourier. As várias definições resultantes de diferentes escolhas de unidades diferem por várias constantes
Dada uma função f(t) e sua transformada F(w) então :
como antes, porem a alternativa correspondente a inversão da equação deve ser:
Para se obter uma equação com a frequência angular mas mais simétrica entre a transformada de Fourier e a equação de inversão. Comumente se a usa alternativa da transformada de Fourier, com o fator logo:
e a equação de inversão correspondente:
Em algumas convenções incomuns, como aquelas empregadas pelo comando FourierTransform da Wolfram Language, a transformada de Fourier tem i no expoente em vez de −i, e vice-versa para a fórmula de inversão. Muitas das identidades que envolvem a transformada de Fourier permanecem válidas naquelas convenções, desde que todos os termos que explicitamente envolvem a substituam por −i.
Por exemplo, na teoria da probabilidade, a função característica ϕ da função de densidade de probabilidade f de uma variável aleatória X de tipo contínuo é definida sem um sinal negativo no exponencial e, como as unidades de x são ignoradas, não há 2π: