miniatura|Um diagrama de Venn ilustrando a interseção de dois conjuntos. Teoria dos conjuntos ou de conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que (informalmente) são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é, em geral, investigada com elementos que são relevantes para os fundamentos da matemática.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos (i.e. sem formalização precisa), numerosos sistemas axiomáticos foram propostos no início do século XX, dos quais a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, com ou sem o axioma da escolha, são os mais conhecidos e estudados.
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura da reta dos números reais ao estudo da consistência de grandes cardinais.
Histórico Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo de 1874, por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais".G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Crelles Journal f. Mathematik, 77 (1874) 258–262.Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt ISBN 0871501546
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e os primeiros matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard BolzanoBernard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1920, Felix Meiner, Leipzip. na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito começou em 1867–1871, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das funções e séries trigonométricas.Georg Cantor, 1932, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer, Berlin. Um encontro em 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874.
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo matemático, era contra. A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitos cantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que há mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação conjunto das partes dá origem. A utilidade da teoria dos conjuntos desembocou em 1898 no artigo "Mengenlehre" de Arthur Schoenflies para a Enciclopédia de Ciências Matemáticas organizada por Felix Klein e Wilhelm Franz Meyer.
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi descoberto que algumas interpretações da teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje chamado paradoxo de Russell: considere "o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos". Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve ser e não ser um membro de si mesmo. Em 1899, Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado. Russell usou seu paradoxo como tema em sua revisão de 1903 da matemática continental em seu livro "Os Princípios da Matemática" (não confundir com o Principia Mathematica).
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O trabalho de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem em 1922 resultou na canônica teoria axiomática dos conjuntos ZFC. O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos. Essa teoria é comumente usada como fundamento, embora em algumas áreas - como a geometria algébrica e a topologia algébrica - a teoria das categorias seja considerada uma base preferencial.
Conceitos básicos
Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, escreve-se o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos. Um conjunto é descrito listando seus elementos separados por vírgula ou através de alguma propriedade que determine seus elementos.
Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é evidente que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. Note que {1} é subconjunto, e não elemento, de {1,2,3}; note também que 1 é membro, e não subconjunto, de {1,2,3}.
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, a teoria dos conjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. Uma lista parcial de tais relações: União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença dos conjuntos U \ A é também chamada de complemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação Ac é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn. Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, (A ∪ B) \ (A ∩ B). Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B. Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1}, {2}, {1,2} }.
Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais.
Um pouco de ontologia
thumb|direita|Um segmento inicial da hierarquia de von Neumann.
Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto contendo apenas o conjunto vazio é um conjunto puro não vazio. Na teoria dos conjuntos moderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados para axiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com esta restrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente, todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em quão profundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. A cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal , conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida como sendo uma mais do que o menor limitante superior das classes de todos os membros de X. Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuída a classe 0, enquanto ao conjunto contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada , o conjunto é definido como consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que . O universo de von Neumann como um todo é denotado por .
Teoria axiomática dos conjuntos Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e por isso pode ser ensinada nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfaçam qualquer condição particular de definição. Esta suposição dá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. A teoria axiomática dos conjuntos foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.
Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja ontologia consiste de: Conjuntos sozinhos. Estes incluem a mais comum teoria axiomática dos conjuntos, teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) com o axioma da escolha. Fragmentos da ZFC incluem: Teoria de conjuntos de Zermelo, que substitui o esquema de axiomas da substituição com o da separação; Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria de conjuntos de Zermelo suficiente para os axiomas de Peano e conjuntos finitos; Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas da infinitude, conjunto das partes, e escolha, e enfraquece os esquemas de axiomas da separação e substituição. Conjuntos e classes próprias. Estes incluem a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntos sozinhos, e ambas as teoria dos conjuntos de Morse-Kelley e teoria dos connjuntos de Tarski-Grothendieck, que são mais fortes do que a ZFC.
Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos que podem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem nenhum membro.
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) não são baseadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um "conjunto de tudo", em relação a qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas os urelementos importam, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais o axioma da escolha não se verifica.
Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, firmam seus conjuntos de axiomas na lógica intuicionista em vez da lógica clássica. No entanto, outros sistemas admitem por padrão a lógica clássica, mas apresentam uma relação de pertencimento não padrão. Estes incluem a teoria dos conjuntos aproximados e a lógica difusa, na qual o valor de uma fórmula atômica incorporando a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Os modelos booliano valorados de ZFC são um assunto relacionado.
Um enriquecimento do ZFC chamado teoria interna dos conjuntos foi proposto por Edward Nelson em 1977.
Áreas de estudo