miniaturadaimagem|Étienne Bézout (século XVIII) Em matemática, particularmente em teoria dos números, a identidade de Bézout, também chamada lema de Bézout, teorema de Bézout ou ainda teorema de Bachet-Bézout, consiste da seguinte afirmação sobre inteiros: Dados inteiros e , não ambos nulos, existem inteiros e tais que + = (, ).
Como consequência imediata da identidade de Bézout, temos que se é um inteiro que divide e , então também divide (, ). Ora, se , são inteiros tais que + = (, ) e , inteiros tais que e , então , ou seja, divide (, ). Um outro corolário da identidade de Bézout afirma que a equação diofantina linear + = tem solução se (, ) divide . Realmente, tem-se pela identidade de Bézout que existem inteiros , tais que + = (, ) e, assim, desde que = (, ), , isto é, (, ) é solução da equação diofantina linear.
O matemático francês Étienne Bézout (1730 – 1783), cujo nome do lema está associado, provou o análogo do resultado para polinômios. Foi Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581 – 1638), outro matemático francês, quem provou a identidade para números inteiros.
Demonstração Dados inteiros , , com , considere o conjunto . É claro que existe em (, ) um inteiro positivo. De fato, . Seja o menor inteiro positivo em (, ).
Afirmação. divide todo inteiro . Dado , sejam tais que = + com . Temos então , de modo que, como é o menor inteiro positivo em (, ), obrigatoriamente = .
Agora, como (basta escolher (, ) = (, ) e (, ) = (, ), respectivamente), temos que divide e . Logo, .
Por outro lado, (, ) divide e , de modo que (, ) divide . Portanto, e, consequentemente, (, ) = .
Ver também Domínio de Bézout Lema de Euclides Máximo divisor comum Teorema AF + BG Teorema chinês do resto
Referências
Ligações externas "Bézout's Identity" in MathWorld "Bézout's Lemma" in ProofWiki Online calculator of Bézout's identity
Categoria:Teoria dos números