A demonstração da famosa desigualdade remonta à antiguidade. A versão apresentada neste verbete usa recursos modernos, mas não vai além de conceitos básicos do cálculo. O objetivo desta apresentação não é convencer o leitor da desigualdade, dado que existem métodos sistemáticos de calcular o valor de pi com aproximação arbitrária. A elegância desta prova resulta da ligação com a teoria das aproximações diofantinas. Stephen Lucas afirmou ser esta demonstração "um dos mais belos resultados ligados à aproximação de π".Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette, volume 32, número 4, pág. 263–266.Este artigo começa chamando esta proposição de "One of the more beautiful results related to approximating π." Julian Havil finaliza uma discussão sobre frações continuadas aproximantes de com este teorema, afirmando ser "impossivel resistir a mencioná-lo" naquele contexto.

Contexto A fração é uma aproximação diofantina de amplamente usada. É um dos termos da fração continuada de . É muito fácil verificar que observando as expansões decimais:

Esta aproximação é conhecida desde a antiguidade, Arquimedes escreveu a primeira prova conhecida deste resultado no século III a.C. A demonstração de Arquimedes consistia em mostrar que 22/7 é maior que a razão entre o perímetro de um polígono regular de 96 lados circunscrito em uma circunferência e o diâmetro da circunferência.

Ideia básica A ideia básica desta demonstração consiste em mostrar as seguinte relações:

Portanto 22⁄7 > π.

Detalhes Positividade da integral

Valor exato da integral definida

|(expandindo termos no numerador)

|(efetuada a divisão polinomial)

|(integração termo-a-termo)

|(aplicação numérica)

|(simplificação)

Resultado refinado Em 1944, Dalzell refinou este resultado usando as seguintes cotas para a integral:Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, pages 133–134.

Então temos:

Este método permite calcular de forma simples o valor de com três casas decimais.Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, volume 34, pages 10–13.

Ligações externas

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