Em análise combinatória, um desarranjo, também conhecido como permutação caótica ou derangement (do francês) é uma espécie de permutação em que nenhum elemento do conjunto permanece na mesma posição. Formalmente falando, um desarranjo é uma bijeção em um conjunto finito que não possui pontos fixos. O número de diferentes desarranjos em um conjunto de n elementos é definido como o subfatorial de n e é denotado . O problema de contar desarranjos foi primeiramente considerado por Pierre Raymond de Montmort em 1708 e resolvido em 1713. Nicholas Bernoulli obteve o mesmo resultado na mesma época.
Exemplos Os dois possíveis desarranjos das três letras da palavra "lua": ual alu
Os nove possíveis desarranjos das quatro letras da palavra "cano": acon, anoc, aocn ncoa, noca, noac ocan, onca, onac
Subfatoriais thumb|right|O enésimo elemento troca de posição com o primeiro elemento. Defina o número de possíveis desarranjos para um conjunto de elementos. Podemos encontrar uma relação de recorrência para usando o método de inclusão-exclusão. É fácil calcular os primeiros valores de :
Considere agora os possíveis desarranjos do conjunto e divida-os em duas classes: Os desarranjos em que o elemento n assume a posição de um elemento e o elemento k assume a posição de n. Exemplo: 1234 → 4321. Os desarranjos em que o elemento n assume a posição de um elemento e o elemento k não assume a posição de n. Exemplo: 1234 → 4312 O número de desarranjos na classe 1 deve ser igual ao número de desarranjos de um conjunto com elementos para cada possível posição que o enésimo elemento pode assumir, ou seja: . O número de desarranjos na classe 2 deve ser igual ao número de desarranjos de um conjunto com elementos para cada possível posição que o enésimo elemento pode assumir, ou seja: . Para chegar a esta conclusão, observar que se o enésimo elemento assume a posição k, podemos permutar k com n e realizar os desarranjos no conjunto .
A seqüência dos subfatoriais é, portanto, unicamente determinada pela sua relação de recorrência e pelos dois valores iniciais:
Relação com o fatorial É importante observar que o fatorial, satisfaz a mesma relação, já que:
Assim, é natural definir:
A seqüência , assim definida satisfaz:
Introduzimos, então, mais uma seqüência, , que satisfaz:
Como , é fácil ver que:
E, portanto,
Assim, obtemos, uma expressão para
Relação com o número de Euler Se observarmos que
podemos escrever:
O termo mais direita pode ser estimado pelo teste da série alternada:
E assim, temos:
E portanto é fácil concluir que
onde representa o inteiro mais próximo de .
Categoria:Permutação
fr:Analogues de la factorielle#Sous-factorielle