Na mecânica quântica, um nível de energia é degenerado se corresponde a dois ou mais estados mensuráveis diferentes de um sistema quântico. Inversamente, diz-se que dois ou mais estados diferentes de um sistema mecânico quântico são degenerados se fornecem o mesmo valor de energia após a medição. O número de estados diferentes correspondentes a um determinado nível de energia é conhecido como o grau de degenerescência (ou simplesmente a degenerescência) do nível. É representado matematicamente pelo Hamiltoniano para o sistema tendo mais de um autoestado linearmente independente com o mesmo autovalor de energia. Quando este é o caso, a energia por si só não é suficiente para caracterizar em que estado o sistema se encontra, e outros números quânticos são necessários para caracterizar o estado exato quando se deseja distinção. Na mecânica clássica, isso pode ser compreendido em termos de diferentes trajetórias possíveis correspondentes à mesma energia.

A degenerescência desempenha um papel fundamental na mecânica estatística quântica. Para um sistema de partículas em três dimensões, um único nível de energia pode corresponder a várias funções de onda ou estados de energia diferentes. Esses estados degenerados no mesmo nível têm todos a mesma probabilidade de serem preenchidos. O número de tais estados fornece a degenerescência de um nível de energia específico.

upright=1.5|thumb|Estados degenerados num sistema quântico

Matemática Os estados possíveis de um sistema mecânico quântico podem ser tratados matematicamente como vetores abstratos em um espaço de Hilbert complexo e separável, enquanto os observáveis podem ser representados por operadores hermitianos lineares que atuam sobre eles. Ao selecionar uma base adequada, as componentes desses vetores e os elementos de matriz dos operadores nessa base podem ser determinados. Se é uma matriz , um vetor não nulo, e é um escalar, tal que , então diz-se que o escalar é um autovalor de e o vetor é o autovetor correspondente a . Juntamente com o vetor nulo, o conjunto de todos os autovetores correspondentes a um dado autovalor forma um subespaço de , que é chamado de autoespaço de . Diz-se que um autovalor que corresponde a dois ou mais autovetores linearmente independentes diferentes é degenerado, ou seja, e , onde e são autovetores linearmente independentes. A dimensão do autoespaço correspondente a esse autovalor é conhecida como o seu grau de degenerescência, que pode ser finito ou infinito. Diz-se que um autovalor é não degenerado se o seu autoespaço for unidimensional.

Os autovalores das matrizes que representam observáveis físicos na mecânica quântica fornecem os valores mensuráveis desses observáveis, enquanto os autoestados correspondentes a esses autovalores fornecem os estados possíveis nos quais o sistema pode ser encontrado após a medição. Os valores mensuráveis da energia de um sistema quântico são dados pelos autovalores do operador Hamiltoniano, enquanto os seus autoestados dão os possíveis estados de energia do sistema. Diz-se que um valor de energia é degenerado se existirem pelo menos dois estados de energia linearmente independentes associados a ele. Além disso, qualquer combinação linear de dois ou mais autoestados degenerados é também um autoestado do operador Hamiltoniano correspondente ao mesmo autovalor de energia. Isto decorre claramente do fato de que o autoespaço do autovalor de energia é um subespaço (sendo o núcleo do Hamiltoniano menos vezes a identidade), e, portanto, é fechado sob combinações lineares.

Prova do teorema acima.Se representa o operador Hamiltoniano e e são dois autoestados correspondentes ao mesmo autovalor , então

Seja , onde e são constantes (em geral) complexas, qualquer combinação linear de e . Então,

o que mostra que é um autoestado de com o mesmo autovalor . Efeito da degenerescência na medição da energia Na ausência de degenerescência, se for determinado um valor medido de energia de um sistema quântico, assume-se que o estado correspondente do sistema é conhecido, uma vez que apenas um autoestado corresponde a cada autovalor de energia. No entanto, se o Hamiltoniano tem um autovalor degenerado de grau gn, os autoestados a ele associados formam um subespaço vetorial de dimensão gn. Nesse caso, vários estados finais podem possivelmente ser associados ao mesmo resultado , todos os quais são combinações lineares dos gn autovetores ortonormais .

Neste caso, a probabilidade de que o valor de energia medido para um sistema no estado produza o valor é dada pela soma das probabilidades de encontrar o sistema em cada um dos estados nesta base, ou seja,

Degenerescência em diferentes dimensões Esta seção pretende ilustrar a existência de níveis de energia degenerados em sistemas quânticos estudados em diferentes dimensões. O estudo de sistemas unidimensionais e bidimensionais auxilia na compreensão conceitual de sistemas mais complexos.

Degenerescência em uma dimensão

Em vários casos, resultados analíticos podem ser obtidos mais facilmente no estudo de sistemas unidimensionais. Para uma partícula quântica com uma função de onda movendo-se num potencial unidimensional , a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como

Como se trata de uma equação diferencial ordinária, existem no máximo duas autofunções independentes para uma dada energia , de modo que o grau de degenerescência nunca excede dois. Pode-se provar que, em uma dimensão, não existem estados ligados degenerados para funções de onda normalizáveis. Uma condição suficiente em um potencial contínuo por partes e a energia é a existência de dois números reais com tais que temos . Em particular, é limitado inferiormente neste critério.

Prova do teorema acima.Considerando um sistema quântico unidimensional num potencial com estados degenerados e correspondentes ao mesmo autovalor de energia , escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema:

Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e subtraindo uma da outra, obtemos:

Integrando ambos os lados

No caso de funções de onda bem definidas e normalizáveis, a constante acima desaparece, desde que ambas as funções de onda se anulem em pelo menos um ponto, e encontramos:

onde é, em geral, uma constante complexa. Para autofunções de estado ligado (que tendem a zero quando ), e assumindo que e satisfazem a condição dada acima, pode-se mostrar que a primeira derivada da função de onda também se aproxima de zero no limite , de modo que a constante acima é zero e não temos degenerescência.

Degenerescência em sistemas quânticos bidimensionais

Sistemas quânticos bidimensionais existem nos três estados da matéria e grande parte da variedade vista na matéria tridimensional pode ser criada em duas dimensões. Materiais bidimensionais reais são feitos de camadas monoatômicas na superfície de sólidos. Alguns exemplos de sistemas eletrônicos bidimensionais obtidos experimentalmente incluem o MOSFET, super-redes bidimensionais de Hélio, Neônio, Argônio, Xenônio etc. e a superfície do hélio líquido. A presença de níveis de energia degenerados é estudada nos casos da partícula numa caixa e do oscilador harmônico bidimensional, que atuam como modelos matemáticos úteis para vários sistemas do mundo real.

Partícula num plano retangular

Considere uma partícula livre num plano de dimensões e delimitado por paredes impenetráveis. A equação de Schrödinger independente do tempo para este sistema com a função de onda pode ser escrita como

Os valores de energia permitidos são

A função de onda normalizada é

onde

Assim, os números quânticos e são necessários para descrever os autovalores de energia e a menor energia do sistema é dada por

Para algumas razões comensuráveis dos dois comprimentos e , certos pares de estados são degenerados. Se , onde p e q são inteiros, os estados e têm a mesma energia e, portanto, são degenerados entre si.

Partícula numa caixa quadrada Neste caso, as dimensões da caixa são e os autovalores de energia são dados por

Como e podem ser permutados sem alterar a energia, cada nível de energia tem uma degenerescência de pelo menos dois quando e são diferentes. Estados degenerados também são obtidos quando a soma dos quadrados dos números quânticos correspondentes a diferentes níveis de energia é a mesma. Por exemplo, os três estados (nx = 7, ny = 1), (nx = 1, ny = 7) e (nx = ny = 5) todos têm e constituem um conjunto degenerado.

Graus de degenerescência de diferentes níveis de energia para uma partícula numa caixa quadrada:

Degenerescência 1 1 2 1 21 12 55 2 2 2 8 1 31 13 1010 2 32 23 1313 2 41 14 1717 2 3 3 18 1............ 751 157 505050 3............ 8741 1478 65656565 4............ 9762 2679 85858585 4............ 111052 251011 125125125125 4............ 14102 21014 200200200 3............ 17137 71317 338338338 3

Partícula numa caixa cúbica Neste caso, as dimensões da caixa são e os autovalores de energia dependem de três números quânticos.

Uma vez que , e podem ser permutados sem alterar a energia, cada nível de energia tem uma degenerescência de pelo menos três quando os três números quânticos não são todos iguais.

Encontrando uma base própria (autobase) única em caso de degenerescência

Se dois operadores e comutam, isto é, , então para cada autovetor de , também é um autovetor de com o mesmo autovalor. No entanto, se este autovalor, digamos , for degenerado, pode-se dizer que pertence ao autoespaço de , que é dito ser globalmente invariante sob a ação de .

Para dois observáveis que comutam e , pode-se construir uma base ortonormal do espaço de estados com autovetores comuns aos dois operadores. No entanto, se é um autovalor degenerado de , então é um subespaço próprio (autosubespaço) de que é invariante sob a ação de , de modo que a representação de na autobase de não é diagonal, mas uma matriz diagonal em blocos, ou seja, os autovetores degenerados de não são, em geral, autovetores de . No entanto, é sempre possível escolher, em cada autosubespaço degenerado de , uma base de autovetores comum a e .

Escolhendo um conjunto completo de observáveis que comutam

Se um determinado observável A for não degenerado, existe uma base única formada pelos seus autovetores. Por outro lado, se um ou vários autovalores de forem degenerados, especificar um autovalor não é suficiente para caracterizar um vetor de base. Se, ao escolher um observável , que comuta com , for possível construir uma base ortonormal de autovetores comum a e , que seja única, para cada um dos pares possíveis de autovalores {a,b}, então diz-se que e formam um conjunto completo de observáveis que comutam (CCOC). No entanto, se ainda não for possível especificar um conjunto único de autovetores para pelo menos um dos pares de autovalores, um terceiro observável , que comuta com e , pode ser encontrado de tal modo que os três formem um conjunto completo de observáveis que comutam.

Segue-se que as autofunções do Hamiltoniano de um sistema quântico com um valor de energia comum devem ser rotuladas fornecendo algumas informações adicionais, o que pode ser feito escolhendo um operador que comuta com o Hamiltoniano. Esses rótulos adicionais exigiam a nomeação de uma autofunção de energia única e geralmente estão relacionados às constantes de movimento do sistema.

Autoestados de energia degenerados e o operador de paridade

O operador de paridade é definido por sua ação na representação de mudar r para −r, ou seja, Pode-se mostrar que os autovalores de P estão limitados a , os quais são ambos autovalores degenerados num espaço de estados de dimensão infinita. Diz-se que um autovetor de P com autovalor +1 é par, enquanto aquele com autovalor −1 é ímpar.