Velocidades generalizadas são as derivadas temporais das coordenadas generalizadas de um sistema mecânico. Juntamente com as coordenadas generalizadas, elas formam um conjunto de parâmetros que descrevem completamente o estado dinâmico de um sistema na mecânica analítica, particularmente nas formulações Lagrangiana e Hamiltoniana. O termo é frequentemente utilizado no contexto de sistemas com múltiplos graus de liberdade e sujeitos a vínculos.
Definição formal Se um sistema mecânico com graus de liberdade é descrito por um conjunto de coordenadas generalizadas independentes:
então, as velocidades generalizadas associadas a cada coordenada são definidas como a derivada destas coordenadas em relação ao tempo, representada por um ponto sobre a variável:
O vetor completo de velocidades generalizadas é representado por:
É crucial notar que, assim como as coordenadas generalizadas não são necessariamente comprimentos, as velocidades generalizadas podem não ter as dimensões de velocidade linear (comprimento/tempo). Por exemplo, podem ser velocidades angulares, taxas de variação de área, ou mesmo correntes elétricas em sistemas eletromecânicos.
Relação com o movimento real Na mecânica newtoniana, a velocidade de uma partícula é o vetor . Como a posição é uma função das coordenadas generalizadas e do tempo (), a velocidade real pode ser expressa como uma combinação linear das velocidades generalizadas.
Usando a regra da cadeia:
Isso demonstra que as velocidades generalizadas são os coeficientes que, multiplicados pelos vetores de direção , compõem o movimento real do sistema.
Propriedades e Importância Independência Funcional: Na formulação Lagrangiana, as coordenadas generalizadas e as velocidades generalizadas são tratadas como variáveis independentes durante o cálculo das derivadas parciais do Lagrangiano . Simplificação de Vínculos: Elas permitem que o movimento de um sistema complexo seja analisado sem a necessidade de calcular explicitamente as forças de vínculo. Generalidade: A notação é fundamental para derivar as Equações de Euler-Lagrange, que são a base para descrever a dinâmica de sistemas que vão desde partículas simples até teorias de campo modernas.
Exemplos thumb|direita|150px|Pêndulo simples: A velocidade generalizada é a derivada do ângulo . Pêndulo Simples: Considere um pêndulo de comprimento . A configuração do sistema pode ser totalmente descrita pelo ângulo (coordenada generalizada). A velocidade generalizada correspondente é a velocidade angular . Partícula em Coordenadas Polares: Uma partícula no plano pode ser descrita pelas coordenadas generalizadas . As velocidades generalizadas associadas são a velocidade radial e a velocidade angular . Corpo Rígido no Espaço: Um corpo rígido livre no espaço tridimensional possui 6 graus de liberdade. Podemos escolher como coordenadas generalizadas as três coordenadas do centro de massa () e três ângulos de orientação (). As velocidades generalizadas serão e as respectivas taxas de variação angular.
Ver também Coordenadas generalizadas Mecânica de Lagrange Grau de liberdade Espaço de configuração Mecânica hamiltoniana
Referências Generalized velocity | physics | Britannica. Britannica.com. Goldstein, H.; Poole, C.; Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0201657029. Concepts and formulas: Lagrangian and Hamiltonian mechanics. University of Tennessee, Knoxville.
Categoria:Mecânica clássica Categoria:Sistemas de coordenadas