Em análise matemática, define-se a variação total de uma função em um intervalo como:
As variações positiva e negativa de uma função em um intervalo são definidas, respectivamente, como:
Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições do intervalo , significa para todo tal que e significa para todo tal que .
Propriedades da variação total 1. Se é um função monótona, então:
2. Se uma função real, então: , sempre que . 3. Se e são funções reais, vale , 4. Se uma função real, então: , 5. Se uma função real, então: ,
Relações entre as variações total, positiva e negativa 1. .
2. .
Função de variação limitada Diz-se que uma função real é de variação limitada em um intervalo se e somente se, para qualquer vale que:
Exemplo Funções crescentes em um intervalo são de variação limitada neste intervalo. Demonstração Se é um função crescente em , então .
Teorema Uma função é de variação limitada em se, e somente se, é a diferença entre duas funções crescentes limitadas. Demonstração Se , com crescentes e limitadas, então .
Por outro lado, se é devariação limitada em , então considere e . Obviamente e são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que .
Relação com a diferenciabilidade Seja uma função de classe , então:
A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:
Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo . Para provar isso considere o seguintes pontos:
Assim
Portanto,
Relação com a integrabilidade A seguinte integral
é bem conhecida quando temos . Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que , onde e são funções crescentes e limitadas.
Portanto, temos que .
References .
Categoria:Análise real