O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria dos Conjuntos.
Essencialmente, o axioma diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.
Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".
Axioma A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
Se z é um conjunto e é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.
Formalmente: qualquer fórmula na linguagem da ZFC com variáveis livres entre :
Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada temos um novo axioma.
φ deve ser uma fórmula bem formada
História Na Teoria ingênua dos conjuntos, o esquema usado (implicitamente) era:
Ou seja, qualquer fórmula define um conjunto.
Este esquema leva ao paradoxo de Russell e suas variantes, o que não acontece quando é imposta a restrição a elementos de z.
Exemplo A existência da interseção de conjuntos é garantida por este axioma. Formalmente, dados conjuntos y e z, e a propriedade , o axioma diz que existe um conjunto w tal que
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