Um operador pseudo-diferencial é uma generalização do conceito de operador diferencial. É uma parte fundamental da teoria das equações diferenciais parciais. Os fundamentos da teoria foram desenvolvidos por Lars Hörmander.
Motivação Operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes Seja o operador diferencial linear com coeficientes constantes
operando sobre o espaço das funções infinitamente contínuas com suporte compacto em . Pode ser expresso como a composição de uma Transformada de Fourier, uma multiplicação com o polinômio
e a transformada de Fourier inversa
,
sendo
um índice múltiplo,
um operador diferencial, sendo
a derivada parcial em relação à j-ésima variável e são números complexos.
De forma análoga um operador pseudo-diferencial sobre é um operador da forma
,
com uma função generalizada no integrando, como a seguir discutido.
Dedução da fórmula (1) A transformada de Fourier de uma função infinitamente diferenciável , com suporte compacto em , é
e a transformada de Fourier inversa fornece
.
Aplicando sobre esta representação de e utilizando
resulta em (1).
Representação de soluções de equações diferenciais parciais
A fim de resolver uma equação diferencial
é aplicada nos dois lados uma transformada de Fourier, resultando uma equação algébrica
.
Caso o símbolo
não seja nulo para , podemos dividir por
.
Aplicando a transformada inversa obtemos a solução
.
Na obten deste resultado as seguintes condições foram observadas: é um operador diferencial linear com coeficientes constantes, seu símbolo não é nulo, a transformada de Fourier de u e f é definida. A última condição pode ser enfraquecida utilizando a Teoria das distribuições. As duas primeiras condições podem ser enfraquecidas como segue. Na última fórmula substitui-se a transformada de Fourier de f:
.
Isto é semelhante à formula (1), só que aqui não é um polinômio, e sim uma função generalizada.
Definição formal Classe de símbolos Se é uma função infinitamente diferenciável sobre com
para todo , todo multi-índice , uma constante e números reais m, então P pertence à classe de símbolos .
Operadores pseudo-diferenciais Seja P uma função infinitamente diferenciável da classe de símbolos . Um operador pseudo-diferencial de ordem m é definido por
O conjunto dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m é denotado por .
Bibliografia Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981, ISBN 0-691-08282-0 ders. Partial differential equations, Bd. 1,2, Springer 1996, 1997, Bd.1 ISBN 0387946535, Bd.2 ISBN 0387946519 M. A. Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer 2001. ISBN 3-540-41195-X Francois Treves Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, Plenum 1981. ISBN 0-306-40404-4 F. G. Friedlander, M. Joshi Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4 José García-Cuerva Fourier Analysis and Partial Differential Equations, CRC Press 1995. ISBN 084937877X
Ligações externas Mark Joshi, Lições sobre Operadores Pseudo-Diferenciais Jörg Seiler, Apostila sobre Operadores Pseudo-Diferenciais
Categoria:Funções generalizadas Categoria:Cálculo diferencial Categoria:Operadores diferenciais