Na teoria das probabilidades, a função característica de qualquer variável aleatória real é a função de valor complexo definida pelo valor esperado:
onde é a unidade imaginária () e é o argumento real. Em termos da função de distribuição acumulada , a função característica corresponde à integral de Lebesgue-Stieltjes:
Ao contrário da função geradora de momentos , que pode não convergir para valores de em distribuições de cauda pesada (como a distribuição de Cauchy), a função característica sempre existe para toda e qualquer variável aleatória real, uma vez que e, portanto, .
A função característica é essencialmente a transformada de Fourier da medida de probabilidade associada a . Ela constitui a principal ferramenta analítica para o estudo de somas de variáveis aleatórias independentes (transformando operações de convolução em produtos simples), na demonstração do teorema central do limite e na análise da convergência em distribuição por meio do teorema da continuidade de Lévy.
Definição formal Seja um espaço de probabilidade e uma variável aleatória real. A função característica de é a função dada por:
conforme decorre diretamente da fórmula de Euler .
Variáveis aleatórias contínuas Se é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade , a integral de Riemann-Stieltjes coincide com a integral de Riemann ordinária:
Variáveis aleatórias discretas Se é uma variável aleatória discreta que assume valores no conjunto enumerável com função massa de probabilidade , a função característica é a série absolutamente convergente:
Vetores aleatórios multivariados Se é um vetor aleatório em , sua função característica conjunta é definida para cada vetor pelo produto escalar ordinário:
Propriedades fundamentais As funções características satisfazem um conjunto notável de propriedades analíticas decorrentes da linearidade da esperança e da análise de Fourier:
Limitação e valores notáveis Origem: . Limitação global: Para todo ,
Simetria hermitiana: Para todo ,
onde a barra superior denota o conjugado complexo. Simetria da distribuição: Uma variável aleatória é simétrica em torno da origem (ou seja, e possuem a mesma distribuição) se e somente se for estritamente real para todo , caso em que:
Continuidade uniforme A função característica é uniformemente contínua em toda a reta real . Com efeito, pelo teorema da convergência dominada:
Como o termo à direita não depende de e tende a zero quando , a continuidade uniforme em fica demonstrada.
Transformações afins lineares Se , com constantes reais , então:
Independência e convolução Se são variáveis aleatórias independentes e denota sua soma, então a função característica da soma é o produto das funções características individuais:
Se as variáveis forem independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com função característica comum , tem-se:
Teorema de Bochner–Khinchin O teorema de Bochner (estendido a probabilidades por Aleksandr Khinchin) fornece uma caracterização completa das funções que podem ser funções características: uma função contínua com é a função característica de alguma medida de probabilidade se e somente se for definida positiva, isto é, para quaisquer reais e coeficientes complexos :
Relação com momentos Se a variável aleatória possui momento de ordem finito, isto é, para algum inteiro , então sua função característica é vezes continuamente diferenciável em toda a reta real e a derivada de ordem avaliada na origem fornece o momento de ordem :
Expansão de Taylor Sob a hipótese , o teorema de Taylor garante a expansão assintótica em torno de :
onde representa um termo da notação pequeno-o. Em particular, se e são finitos:
Se , a expressão simplifica-se para:
Teoremas de unicidade e inversão
Teorema da unicidade A correspondência entre funções de distribuição de probabilidade e funções características é estritamente bijetiva:
Isso significa que a distribuição de uma variável aleatória é univocamente determinada por sua função característica.
Fórmula de inversão de Lévy Sejam dois pontos nos quais a função de distribuição acumulada é contínua. Então a probabilidade do intervalo pode ser recuperada integrando a função característica via o teorema de inversão de Lévy:
Se ou forem pontos de descontinuidade de , o membro esquerdo converge para:
Inversão para densidades contínuas Se a função característica for absolutamente integrável na reta real, isto é, , então a variável admite uma função densidade de probabilidade contínua e limitada, dada diretamente pela transformada inversa de Fourier:
Fórmula de Gil-Pelaez Em 1951, J. Gil-Pelaez formulou uma expressão direta para a própria função de distribuição acumulada a partir da parte imaginária de :
válida para todo ponto de continuidade de , amplamente empregada no cálculo numérico e computacional de distribuições em econometria e finanças quantitativas.
Teorema da continuidade de Lévy e o Teorema Central do Limite
Teorema da continuidade de Lévy O teorema da continuidade de Lévy estabelece a equivalência entre a convergência de variáveis aleatórias em distribuição e a convergência pontual de suas funções características:
Seja uma sequência de variáveis aleatórias com funções características : Se (convergência em distribuição), então para todo , e essa convergência é uniforme em qualquer intervalo compacto de . Reciprocamente, se para cada existir o limite pontual e a função limite for contínua na origem (), então é a função característica de alguma variável aleatória , e .
Demonstração do Teorema Central do Limite A demonstração clássica do Teorema Central do Limite para variáveis i.i.d. constitui uma das aplicações mais elegantes da teoria:
Sejam variáveis aleatórias i.i.d. com média e variância . Considere a média padronizada:
Pela propriedade da expansão de Taylor, a função característica comum das variáveis individuais satisfaz:
Pelas propriedades da soma de variáveis independentes e de escala afim, a função característica de é:
Utilizando o limite fundamental quando , obtém-se:
Como é a função característica da distribuição normal padrão , contínua na origem, o teorema da continuidade de Lévy garante que:
Tabela de funções características clássicas A tabela abaixo lista as funções características das principais distribuições de probabilidade univariadas:
Distribuição Parâmetros Função densidade ou massa Função característica Degenerada (Constante) Bernoulli Binomial Poisson Geométrica Uniforme contínua Exponencial Normal Cauchy Laplace Gama
> Nota sobre a distribuição de Cauchy: Como não é diferenciável em , a distribuição de Cauchy não possui média nem variância definidas, confirmando que a diferenciabilidade da função característica na origem está intimamente associada à existência de momentos.
Relação com outras funções geradoras Na análise probabilística, a função característica faz parte de uma família mais ampla de transformadas operacionais:
Função geradora de momentos (FGM): Definida por . Quando converge em uma vizinhança aberta da origem , pode ser estendida analiticamente para o plano complexo, satisfazendo e . Contudo, ao contrário da função característica, a FGM não existe para muitas distribuições reais (a exemplo das distribuições de Cauchy, Pareto e log-normal). Função geradora de probabilidades (FGP): Para variáveis aleatórias discretas com suporte nos números inteiros não negativos (), define-se para . A relação com a função característica dá-se diretamente por meio da parametrização no círculo unitário complexo :
Segunda função característica (ou geradora de cumulantes): É definida pelo logaritmo principal da função característica:
Os coeficientes da sua expansão em potências de determinam os cumulantes da variável aleatória:
A aditividade do logaritmo faz com que, para variáveis independentes, os cumulantes da soma sejam exatamente a soma algébrica dos respectivos cumulantes.
Ver também Transformada de Fourier Função geradora de momentos Função geradora de probabilidades Teorema da continuidade de Lévy Teorema Central do Limite Convergência de variáveis aleatórias
Referências
Bibliografia
Categoria:Teoria das probabilidades Categoria:Análise de Fourier Categoria:Estatística matemática Categoria:Funções geradoras