thumb|260px|Histograma de um grupo de 18 pacientes. Coleta de HDL com 6 classes definidas e intervalos de 5 mg/dL. O histograma, também conhecido como distribuição de frequências, é a representação gráfica em colunas ou em barras (retângulos) de um conjunto de dados previamente tabulado e dividido em classes uniformes ou não uniformes. A base de cada retângulo representa uma classe. A altura de cada retângulo representa a quantidade ou a frequência absoluta com que o valor da classe ocorre no conjunto de dados para classes uniformes ou a densidade de frequência para classes não uniformes. Importante ferramenta da estatística, o histograma também é uma das chamadas sete ferramentas da qualidade.
Quando o volume de dados aumenta indefinidamente dentro do conjunto de dados e o intervalo de classes tende a zero (o que torna os retângulos cada vez mais finos e altos), a distribuição de frequência torna–se uma distribuição de densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. Os histogramas podem indicar se uma distribuição se aproxima de uma função normal, assim como também podem indicar a mistura de populações quando se apresentam bimodais.
História
A palavra "histograma" se origina dos termos gregos: istos (mastro) e gramma (escrita) e pode ser interpretada como uma escrita em longas formas verticais ou algo semelhante. Entretanto, a palavra não foi originalmente utilizada no idioma grego.
A noção de histograma foi cunhada pelo matemático britânico Karl Pearson no ano de 1895. De acordo com informações do Oxford Dictionary of English, extraídas da obra Philosophical Transactions of the Royal Society, a palavra foi introduzida pelo autor em suas palestras sobre estatística como um termo para uma forma comum de representação gráfica. Isto é, colunas que marcam como áreas a frequência correspondente à extensão da sua base. A palavra teria surgido do termo inglês historical diagram (diagrama histórico).
Tudo indica que os histogramas começaram a ser utilizados antes de receberem o nome. Porém, o seu surgimento é incerto. Provavelmente os gráficos de barras antecederam os histogramas. O gráfico de barra mais antigo do qual se tem informações aparece no livro Commercial and Political Atlas, escrito pelo economista político escocês William Playfair para mostrar as importações e as exportações entre a Escócia e outros dezessete países em 1781.
Embora Playfair não acreditasse na utilidade da sua criação, ela foi utilizada por vários estudiosos nos anos seguintes. Por exemplo, a enfermeira britânica Florence Nightingale que utilizou gráficos de barras para comparar a mortalidade no exército de paz e a mortalidade dos civis e convencer o governo britânico a melhorar a higiene das forças armadas.
O histograma foi utilizado pela primeira vez em 1883 pelo advogado e estudioso de estatística francês André–Michel Guerry para descrever sua análise estatística sobre os crimes contra a população em Paris. Com seu livro Essai sur la Statistique Morale de la France (Ensaio sobre a Estatística Moral na França), apresentado à Academia Francesa de Ciências em 1832 e publicado em 1833, Guerry foi o primeiro a apresentar a ideia de um mapa em que regiões individuais eram representadas por cores diferentes com base em alguma variável.
Guerry procurou traçar uma geografia criminal com a sobreposição de dados do Compte Général de l’Administration de la Justice Criminelle (documento estatístico–judiciário mais importante da França, que teve seu primeiro volume publicado em 1827), fonte de natureza fiscal e econômica e informações referentes ao grau de instrução da população. Guerry criou o primeiro mapa coroplético ao escurecer regiões individuais para representar os níveis de criminalidade. Hoje em dia os mapas cloropléticos são comuns para indicar resultados de eleições, distribuição de riquezas entre outras variável relacionadas geograficamente.
Definição informal
Um histograma representa uma distribuição de frequência por meio de retângulos, cujas larguras representam intervalos de classe e cujas áreas são proporcionais às frequências (absolutas ou relativas). A altura de cada retângulo é a frequência dividida pelo tamanho do intervalo. Se os intervalos de classes adjacentes não possuem lacunas, os retângulos tocam–se para indicar que a variável original é contínua.Charles Stangor (2011) "Research Methods For The Behavioral Sciences". Wadsworth, Cengage Learning. ISBN 9780840031976. Por exemplo, um histograma pode conter dois intervalos de ligação 10,5 – 20,5 e 20,5 – 33,5, mas não pode conter dois intervalos de ligação 10,5 – 20,5 e 22,5 – 32,5. Os intervalos vazios são representados como vazios (não são ignorados).
Os histogramas às vezes são confundidos com gráficos de barras. Um histograma é usado para dados contínuos, em que os intervalos de classe representam a extensão dos dados. Já um gráfico de barra é um gráfico de variáveis categóricas ou discretas. Alguns autores recomendam que os gráficos de barras tenham espaços entre os retângulos para esclarecer a diferença.
Se um histograma possui intervalos de classe de larguras iguais, um retângulo é erguido sobre o intervalo de classe com altura proporcional à frequência (número de casos em cada intervalo de classe). Um histograma também pode ser normalizado para mostrar frequências relativas. Neste caso, o gráfico mostra a proporção de casos em cada uma das várias categorias com soma das alturas igual a 1. Se um histograma possui intervalos de classe de larguras diferentes, o retângulo erguido tem área proporcional à frequência dos casos no intervalo de classe.Freedman, D. Pisani, R. and Purves, R. 1998. Statistics (Third edition). W.W.Norton Neste caso, o eixo vertical não é a densidade de frequência (número de casos por unidade da variável no eixo horizontal).
Os histogramas dão um sentido grosseiro da densidade da distribuição subjacente dos dados e geralmente são estimativas da densidade – estimativa da função densidade de probabilidade da variável subjacente. A área total de um histograma usado para uma densidade de probabilidade é sempre normalizada para 1. Se os comprimentos dos intervalos no eixo x forem todos 1, então o histograma é idêntico ao gráfico de frequência relativa.
Um histograma pode ser pensado como uma estimativa simplista da densidade kernel, que utiliza o kernel para suavizar as frequências sobre os intervalos de classe. Isto leva a uma função densidade de probabilidade mais suave, que em geral refletirá mais precisamente a distribuição da variável subjacente. A estimativa da densidade pode ser plotada como uma alternativa ao histograma e geralmente é representada como uma curva em vez de um conjunto de retângulos. Outra alternativa é o histograma com média deslocada, que é rápido de ser computado e fornece uma estimativa de curva suave da densidade sem utilizar o kernel.
Então, um histograma pode ser construído, considerando "dado" como qualquer medida ou resultado experimental, para responder às seguintes questões:National Institute of Standards and Technology / "Histogram 1.3.3.14 ", e-book web Que tipo de distribuição os dados estão sugerindo? Como os dados estão localizados? Os dados são simétricos? Existem dados que devem ser desconsiderados por estarem distante dos demais dentro do conjunto? Como os dados estão dispersos?
Definição formal
thumb|350px|Um histograma cumulativo comum dos mesmos dados. Os dados apresentados são uma amostra aleatória de 10.000 pontos de uma distribuição normal com uma média de 0 e um desvio padrão de 1.
Em termos matemáticos, um histograma é uma função que conta o número de observações de cada um dos intervalos de classe. Um gráfico é apenas uma forma de representar um histograma. Então, se for o número total de observações e se for o número total de intervalos de classe, o histograma satisfaz a seguinte condição
Histograma cumulativo Um histograma cumulativo é um mapeamento que conta o número cumulativo de observações em todos os intervalos de classe até o intervalo de classe especificado. Um histograma cumulativo de um histograma é definido como .
Número de intervalos e largura Não há um número ideal de intervalos de classe. Diferentes tamanhos de intervalos de classe podem revelar diferentes características dos dados. O agrupamento de dados é pelo menos tão antigo quanto o trabalho de John Graunt no século XVII, embora nenhuma orientação sistemática tenha surgido até o trabalho de Herbert Sturges em 1926.
Usando intervalos de classe mais largos, a baixa densidade reduz o ruído devido à aleatoriedade da amostragem. Usando intervalos de classe mais estreitos, a densidade elevada garante maior precisão à estimativa da densidade. Então, variar a largura do intervalo de classe em um histograma pode ser benéfico. Entretanto, intervalos de classe com larguras iguais são amplamente utilizados.
Alguns teóricos tentaram determinar um número ótimo de intervalos de classe. Entretanto, estes métodos geralmente fazem suposições fortes sobre a forma da distribuição. Dependendo da distribuição real dos dados e dos objetivos das análises, diferentes larguras de intervalos de classe podem ser apropriadas. Então, a experimentação geralmente é necessária para determinar uma largura apropriada. Porém, há várias diretrizes úteis e regras práticas.e.g. § 5.6 "Density Estimation", W. N. Venables and B. D. Ripley, Modern Applied Statistics with S (2002), Springer, 4th edition. ISBN 0-387-95457-0.
Escolha do número de barras pela regra de amplitude O número de intervalos de classe pode ser calculado diretamente ou a partir de uma largura de intervalo de classe sugerida como
em que é o número mínimo inteiro maior ou igual que .
Escolha do número de barras como raiz quadrada de numero de observações , que toma a raiz quadrada do número de pontos de dados na amostra. Isto é usado pelos histogramas do Excel, entre outras ferramentas. EXCEL 2007: Histogram
Escolha do número de barras pela fórmula de Sturges A fórmula de Sturges é baseada em uma aproximação da distribuição binomial pela normal, aqui logaritmo é de base 10. Observa–se que , o que leva a fórmula . A fórmula de Sturges relaciona os tamanhos dos intervalos de classes a partir da extensão dos dados. Ela pode funcionar mal se porque o número de intervalos de classes será pequeno (menor que 7) e as tendências dos dados provavelmente não serão bem mostradas. Ela também pode funcionar mal se os dados não forem normalmente distribuídos.
Escolha do número de barras pela regra de Rice (Universidade Rice, EUA) A regra de Rice é uma alternativa simples à regra de Sturges.Online Statistics Education: A Multimedia Course of Study (http://onlinestatbook.com/). Project Leader: David M. Lane, Rice University (chapter 2 "Graphing Distributions", section "Histograms")
Escolha do número de barras pela fórmula de Doane A fórmula de Doane é uma modificação da fórmula de Sturges que tenta melhorar seu desempenho com dados não normais.Doane DP (1976) Aesthetic frequency classification. American Statistician, 30: 181–183 , em que é a estimativa da distorção do terceiro momento da distribuição e .
Escolha de largura pela referência normal de Scott , em que é o desvio padrão da amostra. A regra de referência normal de Scott é ideal para amostras aleatórias de dados normalmente distribuídos, no sentido que minimiza o erro quadrático médio integrado da estimativa de densidade. Esta abordagem de minimizar o erro quadrático médio integrado pode ser generalizada para além das distribuições normais.
Seja , em que é o número de pontos de dados na -ésima barra. A regra escolha o valor que minimiza a função , o que faz com que o erro quadrático médio integrado seja minimizado.
Escolha de largura pela fórmula de Freedman-Diaconi