Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz ou de um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita com base é o polinômio:
em que é o determinante e é a matriz identidade (ou o operador identidade). Este é um polinômio mônico de grau ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é Os autovalores de são as raízes de seu polinômio característico.
O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico mA(x) de menor grau tal que
Motivação Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular:
Para uma matriz de ordem , o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A.SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 585.
Alguns autores definem o polinômio característico como . Tal polinômio difere do que foi apresentado neste artigo por um sinal (−1)n, e isso não faz diferença para propriedades como a de ter os autovalores de A como raízes; no entanto, a definição deste artigo sempre produz um polinômio mônico, enquanto que a definição alternativa só resulta em um polinômio mônico quando é par.
Exemplos
Seja uma matriz de ordem dada por Então, seu polinômio característico é em que é o traço de Seja uma matriz de ordem dada por: Então, seu polinômio característico é:
Bibliografia . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pigolkina, T. S. and Shulman, V. S., Eigenvalue (in Russian), In:Vinogradov, I. M. (Ed.), Mathematical Encyclopedia, Vol. 5, Soviet Encyclopedia, Moscow, 1977. . . Curtis, Charles W., Linear Algebra: An Introductory Approach, 347 p., Springer; 4th ed. 1984. Corr. 7th printing edition (August 19, 1999), ISBN 0387909923. . ..
Categoria:Álgebra linear Caracteristico