O postulado das paralelas, também conhecido como quinto postulado de Euclides, foi enunciado por volta dos anos no seu famoso livro “Os Elementos”, da seguinte forma: “É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos”. Este postulado, foi motivo de muita polêmica durante toda história da Geometria, atravessando 2087 anos, foi o motivador de muitas tentativas fracassadas de demonstração e descobertas de geometrias alternativas.
As tentativas de demonstração e o surgimento das Geometrias Não-Euclidianas Ptolomeu: Dos escritos do filósofo, matemático e historiador, Proclo (410-485) vieram comentários a respeito do trabalho de Ptolomeu. Segundo ele, Euclides viveu em Alexandria durante o reinado do primeiro Ptolomeu, que era também geógrafo e astrônomo, e este, escreveu um livro sobre o quinto postulado de Euclides, onde era proposta uma das suas primeiras tentativas de demonstrações. Intitulava-se "Que linhas prolongadas de ângulos menores que dois ângulos retos encontram-se uma com a outra". O que Ptolomeu afirma no título do livro é precisamente o quinto postulado de Euclides, no sentido em que os ângulos a que se refere são os dois ângulos também referidos no dito postulado como menores que dois retos, Porém, sua demonstração continha um erro, pois assumia que o paralelismo acarreta na congruência de duas figuras, quando assume que as propriedades aceitas para os ângulos interiores de um lado da reta transversal também devem ser válidas para os ângulos do outro lado, ele acabou admitindo uma propriedade que é verdadeira somente sob a validade do Postulado das Paralelas.
Posidônio de Apameia (135 - ): No , Posidônio apresentou uma definição de paralelismo segundo a qual as retas paralelas são as retas equidistantes, ou seja, duas linhas retas são paralelas se a distância medida numa qualquer perpendicular de uma delas for sempre igual, independentemente da perpendicular escolhida. Assumir isto é equivalente a pressupor o quinto postulado e, por isso, as demonstrações baseadas nesta definição não estavam corretas.
Proclo (410-485): nasceu em Constantinopla por volta do ano 410. Estudou filosofia em Alexandria e, posteriormente, foi para Atenas, estudar com Plutarco na Academia de Platão. Mais tarde, chegaria a diretor da Academia, cargo que manteve até morrer, no ano 485. Como já relatado a obra "Comentário sobre o Livro I dos Elementos de Euclides" é a principal fonte de conhecimentos sobre a história antiga da geometria grega. Após comentar sobre o trabalho de Ptolomeu, o próprio Proclo indicou a falha na demonstração deste e propôs a sua prova. Seu argumento consiste em mostrar que dadas duas retas paralelas, se uma transversal intersecta uma delas, deveria então intersectar a outra. Ele acaba admitindo que duas retas paralelas são equidistantes. Essa propriedade é válida dentro da Geometria Euclidiana, como consequência da validade do V postulado. Aganis: numa tradução do de um comentário árabe aos elementos de Euclides de Al-Nirizi (), é citado Simplício () que, num comentário seu ao primeiro livro de Euclides, terá apresentado a demonstração de Aganis, que comete o erro de assumir uma definição de paralelismo semelhante à de Posidônio. O fato de esta demonstração de Aganis chegar até nós através do comentário de um matemático árabe é sintomático da importância da Matemática árabe após a decadência da Grécia.
Nasiredine ou Nácer Edine al-Tusi (1201 - 1274): apresenta também uma demonstração do quinto postulado. Nesta demonstração, Nasiredine supõe que se duas retas AB e CD são cortadas por uma reta PQ que é perpendicular apenas a uma delas (por exemplo, AB). Então, as distâncias medidas nas perpendiculares de AB para CD serão menores do lado em que PQ faz ângulos agudos com CD e maiores do lado em PQ faz ângulos obtusos com CD. O seu erro reside no fato desta suposição ser equivalente ao quinto postulado.
Clavio (1537-1612): traduziu para latim os Elementos, reproduziu e criticou a demonstração de Proclo e apresentou uma demonstração sua do quinto postulado. A sua demonstração assenta no fato de o conjunto dos pontos equidistantes de uma reta (de um lado da reta) formarem uma linha reta. Ora, supor isso é equivalente a supor o quinto postulado. A sua demonstração acaba por ter algumas semelhanças com a de Nasiredine.
Cataldi (1548-1626): é o primeiro matemático a publicar uma obra exclusivamente dedicada à teoria das paralelas. Cataldi assume uma hipótese que é equivalente ao quinto postulado: linhas retas não equidistantes convergem numa direção e divergem na outra.
Borelli (1608-1679) e Vitale (1633-1711): irão, nos seus estudos, regressar à ideia de equidistância das linhas paralelas, que havia sido levantada por Posidônio.
Jonh Wallis (1616 - 1703): abandona a ideia de equidistância que os seus antecessores matemáticos haviam utilizado sem sucesso para tentar demonstrar o postulado. Wallis desiste de tentar demonstrar o quinto postulado a partir unicamente dos primeiros quatro postulados e introduz um axioma que considera ser mais plausível que o quinto postulado: sobre um segmento é sempre possível construir um triângulo semelhante a um triângulo dado. Wallis demonstra com sucesso o quinto postulado, mas utiliza um axioma alternativo, portanto o que prova é equivalência desse axioma ao quinto postulado (porque reciprocamente, o quinto postulado implica aquele axioma). Na sua demonstração do quinto postulado, Wallis ao provar que uma determinada hipótese é equivalente ao quinto postulado, acaba por não fazer algo muito diferente dos seus antecessores. Contudo, é de destacar o fato de estar consciente disso e apresentar o seu axioma como alternativa ao quinto postulado.
Girolamo Saccheri (1667-1733): se dedicou muito a tentar demonstrar o quinto postulado de Euclides e que deu um passo largo no caminho das geometrias não euclidianas. Em primeiro lugar, Saccheri analisou e criticou muitas das tentativas de demonstrar o quinto postulado por matemáticos anteriores. Nessas análises, Saccheri sublinhou que tudo tinha que ser demonstrado e que, portanto, não fazia sentido tomar certas hipóteses sem as demonstrar, como haviam feito muitos matemáticos anteriores. Saccheri não cometeu esse erro. Profundamente convicto de que poderia demonstrar o quinto postulado, embrenhou-se num longo estudo com esse objetivo, sem nunca considerar o quinto postulado. Começou por considerar um tipo especial de quadriláteros (os quadriláteros de Saccheri), que se caracterizam por ter um par de lados opostos iguais e perpendiculares a um terceiro lado. Este lado chama-se base e o oposto é o topo. Os ângulos β e α são os ângulos de topo. Intuitivamente, a tendência será dizer que é óbvio que estes quadriláteros são retângulos e os ângulos β e α têm de ser retos. Contudo, por incrível que pareça se não for considerado o quinto postulado, essa afirmação não pode ser provada! Saccheri provou várias equivalências ao quinto postulado: todos os quadriláteros de Saccheri são retângulos. Nesse sentido, Saccheri procurou provar que os quadriláteros por ele inventados seriam retângulos mesmo que não se considerasse o quinto postulado. Primeiro, provou que os ângulos de topo teriam que ser congruentes e que, por isso, teriam que ser ambos retos, ambos agudos ou ambos obtusos. Então, procedeu a uma demonstração por redução ao absurdo: considerou três hipóteses consoante os ângulos (a hipótese do angulo agudo (HAA), a hipótese do angulo reto (HAR) e a hipótese do angulo obtuso (HAO)) e procurou atingir absurdos a partir de HAA e HAO, para concluir que HAR era a única possível. O esforço de Saccheri teve sucesso ao provar que HAO levava a um absurdo. Contudo, o sucesso não foi total, pois HAA é impossível provar ser um absurdo. Ao considerar HAA, Saccheri vai estudar a geometria hiperbólica sem perceber isso. Na busca de absurdos, vai demonstrar propriedades desta nova geometria até chegar a um ponto em que, talvez por querer tanto que aquilo resultasse num absurdo, comete um erro na demonstração que o faz pensar ter chegado à conclusão que pretendia. No ano da sua morte, é publicada a obra, intitulada de Euclides ab omne naevo vindicatus, o que significará algo como Euclides liberto de todos os erros. Para ele, o grande erro de Euclides era ter colocado aquele resultado como postulado e para livrá-lo dos erros tinha de demonstrá-lo. Há quem defenda que Saccheri percebeu que a sua demonstração não estava absolutamente correta e que por isso hesitou tanto antes de publicá-la.
Georg Klügel (1739-1832): consistiu em analisar vinte e oito tentativas de demonstrar este postulado. Klügel concluiu que todas eram insatisfatórias e sugeriu que o postulado não podia ser provado e que apenas era aceito como verdadeiro por causa dos testemunhos dos nossos sentidos. Aqui, finalmente, começa a ser levantada a possibilidade de ser impossível demonstrar o quinto postulado.
Lambert (1728-1777): estudou as investigações de Saccheri e descobriu novos resultados no âmbito da HAA. Lambert teve também uma aproximação semelhante à de Saccheri, ao estudar quadriláteros cujas características essenciais seriam ter pelo menos três ângulos retos (quadriláteros de Lambert). Também ele contribuirá com novos resultados para a geometria não euclidiana, mas não atingirá contradição. Nos finais do , o estudo da teoria das paralelas, que já havia dado frutos na Itália e na Alemanha, começa a ter notáveis avanços também em França. Por esta altura, vários matemáticos famosos franceses manifestaram interesse nesta temática da teoria das paralelas e o quinto postulado, como foi o caso de D'Alembert, Lagrange, Carnot e Laplace. D'Alembert teria falado no "escândalo da geometria" a propósito do fracasso das muitas tentativas de demonstração do quinto postulado!
John Playfair (1748-1819): introduz um axioma que considera ser mais plausível que o quinto postulado: dada uma reta e um ponto exterior, existe uma e uma só reta contendo o ponto e paralela à reta dada. Há uma equivalência entre o quinto postulado e o axioma de Playfair, assim como o axioma de Wallis.
Adrien Marie Legendre (1752-1833): um dos melhores matemáticos do seu tempo e que, de tal modo desenvolveu uma espécie de obsessão pela demonstração do quinto postulado, que durante 29 anos publicou tentativa após tentativa em várias edições do seu Élements de Géométrie. No , começa-se a compreender que é possível uma geometria sem o quinto postulado, embora ainda se acredite que no espaço físico é a geometria euclidiana a única possível.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Possivelmente teria se interessado pelas discussões sobre o quinto postulado de Euclides desde 1792, quando tinha apenas 15 anos de idade. Ao longo dos anos, através de suas correspondências, é possível perceber seus trabalhos e investigações no que se refere a formalização de uma nova geometria. Inicialmente, Gauss, utilizando-se do método de redução ao absurdo, teria tentado demonstrar o quinto postulado. Trabalhando na tentativa de prova do quinto postulado que, cautelosamente, mas de forma cada vez mais clara, foi aumentando a sua certeza em relação ao fato deste postulado não ser demonstrável. Logo ele percebera que se utilizasse uma armação que contrariasse este postulado, não encontraria contradição alguma nos resultados, aliás, ele percebe que acaba formulando uma Geometria diferente da Euclidiana, porém completamente satisfatória. Durante a segunda década do que Gauss começa a desenvolver as ideias da nova Geometria. Ele foi o primeiro a designar a nova geometria de Geometria não euclidiana.