Transformada de Mellin

Em matemática a transformada de Mellin de uma funçãoA transformada de Mellin também pode ser aplicada a distribuições, que são generalizações das funções, bem como a séries convergentes. Neste verbete, o termo "função" se refere tanto a funções comuns quanto a funções generalizadas. , definida sobre o eixo real positivo, é a integral

para a variável complexa s, desde que a integral seja convergente.

A transformada é denominada em lembrança ao matemático finlandes Hjalmar Mellin. Na literatura corrente esta transformada é às vezes expressa com um fator normalizante , sendo a função gama.

A transformada de Mellin se relaciona com a transformada de Fourier e com a transformada de Laplace, mediante uma substituição de variáveis conveniente (ver detalhes abaixo).

Sob condições determinadas existe a transformação inversa, e neste caso

com c adequadamente escolhido.

Mediante a transformada de Mellin pode ser estabelecida uma relação entre uma série de Dirichlet e uma série de potências. Sejam

e

com os mesmos . Então

.

Para todos os , resulta para a função zeta de Riemann, e portanto

M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1998, ISBN 3-540-63744-3R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1989, ISBN 3-540-51238-1E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3ª edição 1986, ISBN 978-0828403245D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag : Berlim, Heidelberg, Nova Iorque, 1981, ISBN 3-540-10603-0

A transformada de Mellin pode ser usada na solução de equações diferenciais e de equações integrais, o que a torna útil em ramos da Física e da Engenharia (ver exemplos).

Uma série convergente pode ser convertida, por meio da transformada de Mellin, em uma integral ou em uma outra série de convergência mais rápida (ver detalhes abaixo). Assim, a transformada também é útil em aplicações de cálculo numérico puro.

Em análise matemática, uma transformação similar homônima, que aqui chamaremos transformada dual de Mellin para evitar confusões, é definida em um espaço L2 por

e também apresenta propriedades úteis; a principal delas, a de ser um operador unitário num espaço de Hilbert convenientemente definido. As variáveis ν e β são números complexos adimensionais. Essa transformação é um caso especial da equação (1a) onde a parte real de s (s = α + iβ) é mantida fixa (r = α - 1).

Sua versão discreta, a transformada discreta de Mellin encontra várias aplicações práticas em análise de sinais.

História Essa transformação foi estudada inicialmente por Riemann em conexão com a função zeta. O trabalho de Riemann foi estendido posteriormente por Cahen. Mellin foi, entretanto, o primeiro matemático a estudar sistematicamente as propriedades da transformada e de sua inversa.

O interesse de Mellin era a teoria das funções especiais e seu uso na solução da equação diferencial hipergeométrica de Euler. Hoje, a transformada de Mellin encontra aplicações em diversas áreas da Física e da Engenharia, além da Matemática pura (análise complexa) e no cálculo numéricoJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - The Mellin Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 11, pp. 953 a 954.

Entre as aplicações padrão da transformada de Mellin, podem-se citar o cálculo de séries infinitas, o cálculo de integrais de produtos de funções, a solução da equação de Euler-Cauchy, a solução da equação de Laplace em uma cunha infinita (ver exemplo), a análise da expansão assintótica de integrais e a análise do comportamento assintótico de séries harmônicasJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 971 a 982.

Definições Condições de existência Em geral, a integral (1a) converge para uma faixa de valores de s tais que . ai e af, por sua vez, dependem da função a ser transformada f(t). Em casos especiais, a assim chamada faixa de definição de F(s) se estende por um semiplano ou para todo o plano complexo. Por exemplo, se f(t) = u(t - a) · tz, onde u(t) é a função degrau unitário, a é um número real e z, um número complexo, F(s) será dada por:

que existe para todo s tal que . Neste exemplo, a faixa de definição de F(s) ocupa um semiplano.

Quanto à integral (1b), as condições para a convergência são as seguintes: F(s) deve ser uma função holomórfica na faixa de definição, e af > ai a função s2 · |F(s)| deve ser limitada nessa faixa Se a função F(s) for definida em diversas faixas disjuntas, haverá uma função f(t) inversa para cada uma dessas faixas. Por isso se diz que a transformada de Mellin de uma dada função f(t) consiste de um par {F(s),S(s)}, sendo S(s) a respectiva faixa de definição. Por exemplo, a função g(t) = [u(t - a) - u(t)] · tz possui a mesma transformada de Mellin F(s) que a função f(t) do exemplo anterior, mas sua faixa de definição é diferente: ela existe para todo s tal que J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 957 a 958.

Unicidade Para uma dada função f(t), a transformada F(s) é única e dada pela equação (1a). Para um dado par transformada/faixa de definição {F(s),S(s)}, a transformada inversa é única e dada pela equação (1b)J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 961.

Séries infinitas A expressão (1a) se aplica também quando f(t) é uma série convergente de termos bkIsso permite seu uso em problemas de tempo discreto, como acontece com outras transformações integrais., podendo-se escrevê-la então como

Nesse caso, vale a seguinte fórmula de inversão

onde B(s) é a transformada de Mellin da função b(t) = bt e ζ(x) é a função zeta de RiemannJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 971.

Relação com outras transformadas A transformada de Mellin pode ser relacionada com a transformada de Laplace por meio da substituição de variáveis t = e-x. Por meio dela, a expressão (1a) se torna

que é a definição da transformada de Laplace bilateral, apenas com o argumento de f(x) alterado. Pode-se então escrever

onde o operador denota a transformação de Laplace bilateral. A transformada de Laplace usual, definida apenas no intervalo [0,∞), concorda com a versão bilateral nesse intervalo. Em todas as aplicações práticas, uma escolha adequada da origem garante que a função f(t) analisada tenha suporte limitado a esse intervalo.

Se escrevermos agora a variável s na forma s = α + iβ, F(s) pode ser reescrita como

que é a definição da transformada de Fourier da função g(x) = e- α x · f(e-x). Pode-se então escrever

onde o operador denota a transformação de FourierJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 956Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 978-0-1381-4757-0, Cap. 13, pp. 343 a 347.

Propriedades Como em toda transformada integral, o operador é linear. Outras propriedades importantes são apresentadas abaixo. Por convenção, F(s) é a transformada de f(t) e G(s), de g(t); a é qualquer número real positivo; b é qualquer número real diferente de 0; k é um inteiro positivo; z é um número complexo qualquer. As faixas de definição são explicitadas apenas quando não evidentes.

Teorema de Parseval A expressão do teorema de Parseval para a transformada de mellin é um pouco mais complexa do que o é para outras transformadas integrais, devido à potencial existência de diversas faixas de definição. Sejam 2 funções f(t) e g(t) cujas transformadas e faixas de definição são, respectivamente, {F(s),Sf} e {G(s),Sg}. Podemos escrever

J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 959J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág. 1013 a 1014

Escalamento dos eixos

J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 964 a 966

Potenciação

Diferenciação

Multiplicação por potência

Integração

Derivada de Mellin De (3c) e (3e) decorre o caso especial bastante útil

o operador é conhecido como a derivada de Mellin.

Coordenadas polares As expressões (1a) e (1b) se aplicam também quando se usam coordenadas polares. Nesse caso, as seguintes propriedades são úteis para a inversão:

onde r e θ são, respectivamente, o raio vetor e o ângulo polarJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 970.

Momentos A transformada de Mellin F(s) pode ser considerada o momento de ordem (s-1) da função f(t) no intervalo [0,). Assim, a área sob a curva f(t) (momento de ordem 0) é dada por F(1), o primeiro momento é dado por F(2), o segundo por F(3) e assim por diante. A abcissa do centroide é dada por .

Produto de funções

Esta última propriedade é muito útil e leva à definição da convolução de Mellin (ver abaixo).

Convolução de Mellin O teorema da convolução, na forma usual, não se aplica à transformada de Mellin. No entanto, pode-se definir uma outra operação similar, chamada de convolução de Mellin ou convolução multiplicativa de duas funções f(t) e g(t) como

J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 966 a 968

A faixa de definição da convolução é a interseção das faixas de definição de cada função.

Esse operador possui as seguintes propriedades notáveis:

Comutatividade

Associatividade

Elemento neutro

onde δ(t) é a função impulso unitário

Derivação de Mellin

ou seja, basta aplicar o operador derivada de Mellin a um dos termos.

Logaritmo

Impulso unitário

onde a e d são números reais positivos e δk é a k-ésima derivada da função impulso unitário.

Tabela de transformadas de Mellin + Tabela 1 - Transformadas de Mellin de algumas funções f(t)onde: é a função degrau unitário é a função impulso unitário é a função digama ou função Psi é a função zeta de Riemann

é a constante de Euler

Exemplos de aplicações Cálculo de transformada direta Seja a função f(t) = eat, onde a é um número real positivo. Sua transformada será

A faixa de definição S(s) é dada pelo domínio onde a função gama é holomorfa: J. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pág 955.

Cálculo de transformada inversa O cálculo da transformada inversa é mais delicado do que o da transformada direta, por dois motivos: primeiro, a escolha do parâmetro c na equação (1b) deve ser adequada, e segundo, porque pode haver mais de uma faixa de definição da transformada, e é desejável tratar todas elas.

Como exemplo, seja F(s) = Γ(s). A faixa de definição S(s) é tal que . Uma escolha conveniente é c = α, com α > 0. A transformada inversa é dada por inspeção

onde foi usado o resultado do exemplo anterior para a inversão.

Para , a função gama não é holomorfa. No entanto, como os polos da função são todos isolados e localizados em s = -k, sendo k um número natural positivo, pode-se escolher também c = β, com -(k + 1) < β < -k. Neste caso, o percurso de integração não cruzará nenhum polo. Podemos escrever

Essa última integral pode ser calculada por meio do teorema dos resíduos. Para isso, escolhe-se a curva fechada Ω composta pelos segmentos {s = β},{s = i∞},{s = α} e {s = -i∞}. Essa curva delimita todos os polos da função Γ(s) (e, portanto, todos os polos do integrando Γ(s)·t-s) entre 0 e β. O valor da integral de linha, percorrendo-se Ω no sentido positivo (neste caso, o sentido anti-horário), de acordo com o teorema, será:

Pela expressão, vemos que L é uma função de k também, portanto devemos escrever L(k,t). Como a integral sobre os segmentos horizontais {s = i∞} e {s = -i∞} deve ser nula, podemos escrever

A função g(t) será diferente para cada valor de k escolhido, mas uma transformada inversa poderá ser obtida para todo o plano complexoJ. Bertrand, P. Bertrand e J. Ovarlez - op. cit., Cap. 11, pp. 958 a 959.