Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculoQuando aplicada a uma função de valores reais, o que geralmente é o caso. e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 1942Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 12, pp. 293-328,ISBN 978-0-1381-4757-0 para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. BracewellK. Olejniczak - The Hartley Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 342 a 343 (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por Bracewell em 1983.Bracewell, R. - Discrete Hartley transform, in Journal of the Optical Society of America, vol. 73, issue 12, disponível em https://www.opticsinfobase.org/josa/abstract.cfm?uri=josa-73-12-1832, acessado em 29/11/2013
A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa.Villasenor, J. - Optical Hartley transforms, Proc. IEEE 82 (3), 1994, pp. 391-399, disponível em http://dx.doi.org/10.1109/5.272144
Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier.A. Poularikas (org) - Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing, Cap. 14, disponível em http://dsp-book.narod.ru/HFTSP/8579ch14.pdf, acessado em 03/10/2012
Definição
A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:
onde ω, em aplicações físicas, é a frequência angular e t é o tempo. A função cas (ing. cosine and sine)
é o chamado núcleo de Hartley. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um sinal, representado por uma função f de valores reais, do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley, que é o domínio da frequência real.
Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas transformadas de seno e de cosseno.K. Olejniczak - op. cit., pag. 347
Transformada inversa
A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma involução):
Essa expressão é válida apenas quando se emprega a definição (1a) para a transformada ou substitui-se ω por 2πν. Em outros casos, podem aparecer fatores de escalamento (ver o item Convenções).
Convenções
O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada: Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o da fórmula da transformada e usar 1/2π na inversa — ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier). Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a frequência simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente é totalmente removido. Bracewell (2000) e Olejniczak (2000) são exemplos de autores que seguem essa convenção. Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo..
Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:
É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.
Relação com a transformada de Fourier
Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial , onde i é a unidade imaginária.
As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:
Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley.
Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:
onde e denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier.K. Olejniczak - op. cit., pp. 349 a 350
A transformada de Hartley H(ω) também pode ser obtida a partir da transformada real de Fourier R(ω) por meio da fórmula abaixo:
onde Rp(ω) e Ri(ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de R(ω).K. Olejniczak - op. cit., pág. 352
Relações similares existem com a transformada real de Mellin M(σ,ω), outra transformação relacionada à transformada de Fourier:
onde Mp(σ,ω) e Mi(σ,ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de M(σ,ω).K. Olejniczak - op. cit., pág. 353
Condições de existência Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função f(x) é que exista a transformada de Fourier dessa função. Outro grupo de condições suficientes são as condições de Dirichlet: f(x) deve ser absolutamente integrável no intervalo [-∞,∞] f(x) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo f(x) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre -∞ e ∞
Tais condições são suficientes, não necessárias. Funções importantes, como f(x) = cos(x), não atendem às condições de Dirichlet (neste caso, por não ser absolutamente integrável), mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley.K. Olejniczak - op. cit., pp. 346 e 349
Interpretação da transformada de Hartley A transformada de Fourier de uma função real f(x) é uma função complexa F(ω) que exibe simetria hermitiana, ou seja F(-ω) = F*(ω), onde F*(ω) denota o conjugado complexo de F(ω). Isso implica que existe uma certa redundância na função F, porque o valor de saída para entradas negativas está totalmente determinado pelo valor para entradas positivas. A transformada de Hartley de f(x), H(ω), não exibe tal comportamento. Isso também se reflete no fato de que F(ω) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto H(ω) só atribui um número real.K. Olejniczak - op. cit., pp. 348 a 349
Propriedades
Linearidade
Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um operador linear e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal).
Teorema da convolução
Existe também um análogo ao teorema da convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções e têm transformadas de Hartley e , respectivamente, então sua convolução tem a transformada de Hartley
onde Yp e Yi são as componentes par e ímpar, respectivamente, de Y(ω).
A expressão (3a) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para
que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier.
Paridade
Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar.
Espectro de potência e fase
A densidade espectral P e a fase φ da transformada de Fourier F(ω) são dadas pelas expressões
a substituição da identidade (2a) nas equações acima resulta em
Observe-se que P(ω) será sempre uma função par.K. Olejniczak - op. cit., pp. 354 a 355Uma das desvantagens da transformada de Hartley, em relação à transformada de Fourier, é justamente que a variação do ângulo de fase com a frequência não é tão clara.
Escalamento e deslocamento do eixo Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então
e
Em particular, se a = -1, então K. Olejniczak - op. cit., pag. 355.
Modulação Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω) e a função g(x) = cos(ω0·x), então
Derivadas Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então a transformada da derivada de ordem n de f será dada por
onde cas' é a função cas complementar (ver abaixo).K. Olejniczak - op. cit., pág. 357
Tabela de Transformadas de Hartley A tabela abaixo traz as transformadas de Hartley de algumas funções comuns em aplicações de engenharia. Como as convenções variam entre representar a transformada como H(ω) ou como H(ν) (sendo que ω = 2πν; ver acima), as duas opções foram contempladas.
+ Tabela 1 - Transformadas de Hartley de algumas funções f(t)K. Olejniczak - op. cit., pp. 386 a 396Conhecida como função rampa unitária.onde: é a função impulso unitário é a derivada do impulso unitário é a função degrau unitário é a função sinal é a função retangular é a função seno cardinal é a função triangular
Função cas
As propriedades da função cas seguem-se diretamente da definição (1b) (uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase) e da trigonometria.
Adição de ângulos
ou
No caso particular:
Derivada e anti-derivada
esta função é conhecida como cas complementar.
Relação de outras funções trigonométricas com a função cas(x)
Relação com a função exponencial
Produtos
K. Olejniczak - op. cit., pag. 344
Série de Hartley A série de Hartley é uma expansão em série infinita de uma função periódica f(t), na forma
onde τ é o período de f(t) e os coeficientes ak são números reais. A série de Hartley é idêntica à série de Fourier, apenas com a base ortogonal sendo a função cas(x), e em vista disso exibe propriedades similares e encontra as mesmas aplicações práticas. Em particular, as condições para existência de ambas as séries são as mesmas.
A propriedade de ortogonalidade de cas(x) é sumamente importante, pois garante que o erro quadrático ε2 na representação da função f(t) por meio da série finita
definido por
é o mínimo possível para um dado K e diminui com o aumento de K.Essa propriedade é conhecida como a propriedade da finitude dos coeficientes.A prova é conhecida como o Lema de Riemann-Lebesgue. Em outras palavras, os coeficientes ak fornecem a melhor representação possível de f(t) para qualquer valor de K. Em aplicações práticas, é sempre necessário usar um número finito de coeficientes, e essa propriedade permite ajustar a qualidade da representação e as limitações computacionais.
Outra propriedade importante da série de Hartley é que o erro linear ε, definido como
pode ser feito arbitrariamente pequeno com o aumento de K (ou seja, ε não diminui assintoticamente).Essa propriedade é conhecida como da completude dos coeficientes. Essa propriedade decorre da equação de Parseval
K. Olejniczak - op. cit., pp. 358 a 362
Os coeficientes ak na equação (5a) são dados pela fórmula
K. Olejniczak - op. cit., pag. 365
Outras propriedades da série de Hartley Reversão no tempo