Um sistema de referência em rotação é um caso particular de referencial não inercial que está em rotação em relação a um referencial inercial. Um exemplo cotidiano é um referencial fixo à superfície da Terra.As transformações cartesianas apresentadas neste artigo são deduzidas para uma rotação em torno de um eixo fixo. As relações vetoriais entre derivadas, velocidades e acelerações também são válidas quando a direção do eixo de rotação varia. Para a representação de rotações mais gerais, veja Ângulos de Euler.

Forças fictícias

A aplicação das leis de Newton em referenciais não inerciais exige a inclusão de forças fictícias. A rotação do referencial dá origem a três termos desse tipo:

a força centrífuga a força de Coriolis a força de Euler, quando a velocidade angular do referencial varia

Essas forças dependem de grandezas diferentes. A força centrífuga pode atuar sobre um corpo que esteja em repouso no referencial em rotação, desde que ele esteja afastado do eixo. A força de Coriolis depende da velocidade do corpo em relação ao referencial, enquanto a força de Euler surge quando a velocidade angular vetorial do referencial varia com o tempo.

Cientistas dentro de uma caixa em rotação podem determinar a velocidade de rotação e o eixo de rotação por meio de medições dessas forças fictícias. Léon Foucault, por exemplo, demonstrou a rotação da Terra com o Pêndulo de Foucault. No referencial terrestre, a mudança de orientação do plano de oscilação é explicada pela força de Coriolis. Se a Terra girasse muitas vezes mais rápido, os efeitos dessas forças seriam mais perceptíveis para as pessoas, como ocorre em um carrossel giratório.

Força centrífuga

Na mecânica clássica, a força centrífuga é uma força aparente dirigida perpendicularmente para fora do eixo de rotação. Ela é uma das chamadas pseudoforças, também chamadas de forças inerciais. Essas forças não têm origem em interações com outros corpos no ambiente da partícula sobre a qual atuam. A força centrífuga decorre da rotação do referencial em que as observações são feitas.

Força de Coriolis

A expressão matemática da força de Coriolis foi publicada em 1835 pelo cientista francês Gaspard-Gustave Coriolis, em um trabalho sobre as forças em sistemas mecânicos em rotação, motivado por máquinas como rodas-d'água. Termos correspondentes já estavam presentes no estudo da dinâmica das marés de Pierre-Simon de Laplace, no século XVIII. A associação da força ao nome de Coriolis se difundiu no fim do século XIX, e o termo passou a ser usado na meteorologia no início do século XX.

A Terra é um referencial em rotação encontrado com frequência. Para um corpo que se move horizontalmente em relação à superfície terrestre, a componente horizontal da força de Coriolis atua para a direita da velocidade no Hemisfério norte e para a esquerda no Hemisfério sul. Essa componente é nula na linha do equador. A regra se refere ao desvio horizontal, não a todas as componentes da força.

O movimento do ar na atmosfera e da água nos oceanos são exemplos desse comportamento. A força de Coriolis desvia os escoamentos produzidos pelas diferenças de pressão, de modo que ventos e correntes de grande escala não fluem necessariamente diretamente das regiões de alta pressão para as de baixa pressão. Esse efeito participa da circulação dos grandes ciclones. Veja também os efeitos de Coriolis na meteorologia e oceanografia.

Força de Euler

Na mecânica clássica, a aceleração de Euler, nomeada em homenagem a Leonhard Euler, também recebe os nomes de aceleração azimutal e aceleração transversal. Como aceleração fictícia, ela surge quando a velocidade angular do referencial varia com o tempo. Para um eixo fixo, essa variação corresponde à mudança da velocidade de rotação. Na expressão vetorial geral, uma mudança na direção da velocidade angular também pode produzir esse termo.

A força de Euler é uma força fictícia sobre um corpo, dada por , em que é a aceleração fictícia de Euler e é a massa do corpo. Sua expressão é , em que é a velocidade angular do referencial e é a posição relativa à origem comum dos referenciais.

Relação entre referenciais em rotação e estacionários A seguir são deduzidas as fórmulas das acelerações e das forças fictícias em um referencial em rotação. A dedução começa pela relação entre as coordenadas de uma partícula no referencial em rotação e suas coordenadas em um referencial inercial. Derivadas temporais fornecem então as fórmulas que relacionam a velocidade da partícula vista nos dois referenciais e sua aceleração em cada um deles. As forças fictícias podem ser encontradas comparando-se a segunda lei de Newton nos dois referenciais.

A dedução pressupõe que os dois referenciais tenham a mesma origem, em repouso no referencial inercial. Se a origem do referencial em rotação também tiver aceleração translacional em relação ao referencial inercial, surge um termo inercial adicional, que não está incluído nas equações abaixo.

As equações vetoriais comparam os vetores geométricos. Para escrevê-las em componentes, todos os termos de uma mesma equação devem ser expressos na mesma base.

Relação entre as posições nos dois referenciais

Para deduzir essas forças fictícias, é útil poder converter as coordenadas do referencial em rotação nas coordenadas de um referencial inercial com a mesma origem. são funções de e do tempo . Do mesmo modo, são funções de e de . Dizer que os referenciais têm a mesma origem significa que, para qualquer , se e somente se .

miniatura|direita|Dois conjuntos de eixos cartesianos com uma rotação relativa. O ângulo é medido do eixo para o eixo .

Considere uma rotação em torno do eixo com velocidade angular constante , de modo que . O ângulo é medido do eixo para o eixo , no plano , com sentido positivo anti-horário quando observado do semieixo positivo em direção à origem. Como , tem-se , para alguma constante .

Se os dois referenciais coincidem em , suas coordenadas satisfazem nesse instante. Pode-se então tomar ou outro múltiplo inteiro de . A transformação das coordenadas em rotação para as coordenadas inerciais é

e a transformação inversa é

Esse resultado também pode ser obtido por uma matriz de rotação.

Introduzam-se os vetores unitários , que formam a base do referencial em rotação. Suas derivadas temporais podem ser encontradas da seguinte maneira. Suponha que os referenciais estejam alinhados em e que o eixo seja o eixo de rotação. Para uma rotação pelo ângulo ,

em que as componentes são expressas no referencial inercial. Da mesma forma,

A derivada temporal desses vetores no referencial inercial, indicado pelo índice , é

em que .

O mesmo resultado é obtido com o produto vetorial pelo vetor de velocidade angular :

em que pode ser ou .

Derivadas temporais nos dois referenciais Introduzam-se novamente os vetores unitários , que agora formam a base de um referencial em rotação geral. Durante a rotação, eles permanecem normalizados e perpendiculares entre si. Para uma velocidade angular vetorial , cada vetor unitário dessa base obedece à equação

Essa relação não exige que a direção de seja constante. Se é a matriz cujas colunas são os vetores da base em rotação expressos no referencial inercial, a matriz que representa o operador de produto vetorial por , nessa base inercial, é .

Se é uma função vetorial escrita como são as coordenadas de em relação aos vetores da base em rotação . Em um dado instante, sua derivada relativa a essa base é . Se, por exemplo, e , então é um dos vetores da base em rotação e sua derivada relativa a essa base é identicamente . Sua derivada no referencial inercial é, porém, . Ela só permanece nula quando esse vetor da base não muda de direção no referencial inercial. Isso ocorre, por exemplo, se o eixo de rotação é fixo e coincide com o eixo inercial e o vetor escolhido está alinhado com esse eixo, com componentes ou .

sua primeira derivada no referencial inercial, pela regra do produto, é:

O índice denota a derivada relativa à base em rotação, obtida pela diferenciação das componentes nessa base. Em forma abreviada,

Esse resultado também recebe o nome de teorema do transporte na dinâmica analítica e, às vezes, o de equação cinemática básica.

Relação entre as velocidades nos dois referenciais A velocidade de um objeto em um dado referencial é a derivada temporal de sua posição nesse referencial. Para os referenciais inercial e em rotação, respectivamente,

Quando a posição é escrita na base em rotação, sua derivada no referencial inercial tem duas parcelas. Uma vem do movimento do objeto em relação ao referencial em rotação, e a outra vem da mudança de orientação da própria base. Aplicando ao vetor posição o resultado da subseção anterior, as velocidades obedecem à equação

O índice designa o referencial inercial e , o referencial em rotação.

Relação entre as acelerações nos dois referenciais A aceleração é a segunda derivada temporal da posição, ou a primeira derivada temporal da velocidade, sempre tomadas no mesmo referencial:

A expressão no primeiro par de colchetes deve ser interpretada como um operador que atua sobre a expressão entre colchetes à direita.

Como , a derivada temporal de é o mesmo vetor nos dois referenciais. Suas componentes coincidem quando expressas numa base comum. Efetuando as derivações e reorganizando os termos, obtém-se a aceleração relativa ao referencial em rotação, :

Nessa expressão, é a aceleração medida no referencial em rotação. O termo é a aceleração centrífuga, e o termo é a aceleração de Coriolis. O último termo, , é a aceleração de Euler e vale zero quando a velocidade angular vetorial do referencial é constante.

Segunda lei de Newton nos dois referenciais Quando a expressão da aceleração é multiplicada pela massa constante da partícula, os três termos adicionais do lado direito dão origem a forças fictícias no referencial em rotação. São forças aparentes que surgem por se usar um referencial não inercial, e não por uma interação física entre corpos.

Usando a segunda lei de Newton, , obtêm-se:

a força de Coriolis

a força centrífuga

a força de Euler

Nessas expressões, é a massa do objeto. Os três termos de força decorrentes da rotação se anulam quando e . A condição em um instante, isoladamente, não elimina a força de Euler se a velocidade angular estiver variando.

A aceleração inercial causada pelas forças externas aplicadas pode ser determinada a partir da resultante física . Entre essas forças estão, por exemplo, as forças eletromagnéticas. Pela segunda lei de Newton no referencial inercial,

No referencial em rotação, a lei de Newton assume a forma

em que é a soma das forças físicas e fictícias usadas nesse referencial.

A aplicação das leis do movimento em um referencial em rotação pode ser expressa da seguinte maneira:

Trate as forças fictícias como forças reais e finja que está em um referencial inercial.

Louis N. Hand e Janet D. Finch, Analytical Mechanics, p. 267.

Um referencial em rotação é, evidentemente, um caso de referencial não inercial. Além da força real, atua sobre a partícula uma força fictícia... A partícula se moverá de acordo com a segunda lei de Newton se a força total que atua sobre ela for tomada como a soma das forças reais e fictícias.

H. S. Hans e S. P. Puri, Mechanics, p. 341.

Esta equação tem exatamente a forma da segunda lei de Newton, exceto pelo fato de que, além de F, a soma de todas as forças identificadas no referencial inercial, há um termo adicional no lado direito... Isso significa que podemos continuar usando a segunda lei de Newton no referencial não inercial desde que concordemos em acrescentar, nesse referencial, um termo adicional com caráter de força, muitas vezes chamado de força inercial.

John R. Taylor, Classical Mechanics, p. 328.

Rotação uniforme em torno do eixo z