Em matemática, o teorema da base de Hilbert afirma que todo ideal de um anel de polinômios sobre um corpo tem um conjunto gerador finito (uma base finita, na terminologia de Hilbert).

Na álgebra moderna, anéis cujos ideais têm essa propriedade são chamados de anéis noetherianos. Todo corpo e o anel dos números inteiros são anéis noetherianos. Assim, o teorema pode ser generalizado e reafirmado como: todo anel de polinômios sobre um anel noetheriano também é noetheriano.

O teorema foi enunciado e provado por David Hilbert em 1890 em seu artigo seminal sobre teoria dos invariantes, onde ele resolveu vários problemas sobre invariantes. Neste artigo, ele também provou outros dois teoremas fundamentais sobre polinômios, o Nullstellensatz (teorema dos zeros) e o teorema dos sízigos (teorema das relações). Estes três teoremas foram o ponto de partida para a interpretação da geometria algébrica em termos de álgebra comutativa. Em particular, o teorema da base implica que todo conjunto algébrico é a interseção de um número finito de hipersuperfícies.

Outro aspecto deste artigo teve um grande impacto na matemática do século XX; este é o uso sistemático de métodos não construtivos. Por exemplo, o teorema da base afirma que todo ideal tem um conjunto gerador finito, mas a prova original não fornece qualquer maneira de calculá-lo para um ideal específico. Esta abordagem foi tão surpreendente para os matemáticos daquela época que a primeira versão do artigo foi rejeitada por Paul Gordan, o maior especialista em invariantes da época, com o comentário "Isto não é matemática. Isto é teologia." Mais tarde, ele reconheceu: "Convenci-me de que até a teologia tem seus méritos."

Enunciado Se é um anel, seja o anel de polinômios na indeterminada sobre . Hilbert provou que se é "não muito grande", no sentido de que se é noetheriano, o mesmo deve ser verdade para . Formalmente,

Hilbert provou o teorema (para o caso especial de polinômios multivariados sobre um corpo) no decorrer de sua prova de geração finita de anéis de invariantes. O teorema é interpretado em geometria algébrica da seguinte forma: todo conjunto algébrico é o conjunto das raízes comuns de finitos polinômios.

A prova de Hilbert é altamente não construtiva: ela prossegue por indução no número de variáveis e, em cada etapa de indução, usa a prova não construtiva para uma variável a menos. Introduzidas mais de oitenta anos depois, as bases de Gröbner permitem uma prova direta que é tão construtiva quanto possível: as bases de Gröbner produzem um algoritmo para testar se um polinômio pertence ao ideal gerado por outros polinômios. Assim, dada uma sequência infinita de polinômios, pode-se construir algoritmicamente a lista daqueles polinômios que não pertencem ao ideal gerado pelos precedentes. A teoria das bases de Gröbner implica que esta lista é necessariamente finita e é, portanto, uma base finita do ideal. No entanto, para decidir se a lista está completa, deve-se considerar cada elemento da sequência infinita, o que não pode ser feito no tempo finito permitido a um algoritmo.

Prova

Daremos duas provas, em ambas apenas o caso "à esquerda" é considerado; a prova para o caso à direita é semelhante.

Primeira prova Suponha que seja um ideal à esquerda não finitamente gerado. Então, por recursão (usando o axioma da escolha dependente), existe uma sequência de polinômios tal que, se é o ideal à esquerda gerado por , então é de grau mínimo. Por construção, é uma sequência não decrescente de números naturais. Seja o coeficiente líder de e seja o ideal à esquerda em gerado por . Como é noetheriano, a cadeia de ideais

deve terminar. Assim, para algum inteiro . Então, em particular,

Agora considere

cujo termo líder é igual ao de ; além disso, . No entanto, , o que significa que tem grau menor que , contradizendo a minimalidade.

Segunda prova Seja um ideal à esquerda. Seja o conjunto dos coeficientes líderes dos membros de . Este é obviamente um ideal à esquerda sobre e, portanto, é finitamente gerado pelos coeficientes líderes de finitos membros de ; digamos . Seja o máximo do conjunto , e seja o conjunto dos coeficientes líderes dos membros de cujo grau é . Como antes, os são ideais à esquerda sobre e, portanto, são finitamente gerados pelos coeficientes líderes de finitos membros de , digamos

com graus . Agora seja o ideal à esquerda gerado por:

Temos e afirmamos também que . Suponha, por contradição, que isso não seja verdade. Então, seja de grau mínimo e denote seu coeficiente líder por .

Caso 1: . Independentemente desta condição, temos , então é uma combinação linear à esquerda

dos coeficientes dos . Considere

que tem o mesmo termo líder que ; além disso, enquanto . Portanto, e , o que contradiz a minimalidade.

Caso 2: . Então , então é uma combinação linear à esquerda

dos coeficientes líderes dos . Considerando

obtemos uma contradição semelhante à do Caso 1.

Assim, nossa afirmação é válida e , que é finitamente gerado.

Observe que a única razão pela qual tivemos que dividir em dois casos foi para garantir que as potências de multiplicando os fatores fossem não negativas nas construções.

Aplicações Seja um anel comutativo noetheriano. O teorema da base de Hilbert tem alguns corolários imediatos.

Por indução, vemos que também será noetheriano. Como qualquer variedade afim sobre (isto é, um conjunto de zeros de uma coleção de polinômios) pode ser escrita como o conjunto de zeros de um ideal e, além disso, como o conjunto de zeros de seus geradores, segue-se que toda variedade afim é o conjunto de zeros de finitos polinômios — ou seja, a interseção de finitas hipersuperfícies. Se é uma -álgebra finitamente gerada, então sabemos que , onde é um ideal. O teorema da base implica que deve ser finitamente gerado, digamos , ou seja, é finitamente apresentada.

Provas formais Provas formais do teorema da base de Hilbert foram verificadas através do projeto Mizar (veja o arquivo HILBASIS) e do Lean (veja RingTheory/Polynomial/Basic.lean).

Referências

Leitura adicional Cox, Little, and O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, 1997. A biografia definitiva em inglês de Hilbert.

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